Pascal i ciśnienie hydrostatyczne

🎯 Po co Ci to?

Strzykawka: pchasz tłok — z drugiej strony ciecz wychodzi mocniej, niż się spodziewałeś po „takim małym palcu". Warsztat: podnośnik podnosi samochód siłą nogi na pedale. Basen: na dwa metry uszy bolą tak samo przy drabince i na środku niecki — nie zależy to od tego, ile wody jest obok Ciebie, tylko jak głęboko jesteś. To prawo Pascala i wzór $p = \rho g h$. PP każe stosować oba i pokazać je doświadczeniem (V.9.d).

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce potrafisz:

  • sformułować prawo Pascala: przyrost ciśnienia jednakowy w całej objętości cieczy lub gazu;
  • policzyć proste przełożenie prasy: $F_1/S_1 = F_2/S_2$;
  • stosować $p = \rho g h$ z $g \approx 10$;
  • obalić pułapkę „im szersze naczynie, tym większe ciśnienie na dnie";
  • opisać naczynia połączone i doświadczenie V.9.d.

🔁 Przypomnij sobie

$p = F/S$; gęstość $\rho$; ciężar $Q = mg$. Atmosfera $\sim 10^5\ \text{Pa}$ siedzi nad taflą basenu — na głębokości $h$ w wodzie dochodzi hydrostatyka plus (gdy pytają o absolutne) atmosfera. W wielu zadaniach SP pytają tylko o przyrost od tafli: $\rho g h$.

💭 Pomyśl: Dwa baseny. Jeden wąski jak studnia, drugi jak jezioro. Stoisz na głębokości 1,5 m w obu. Gdzie uszy bolą bardziej?

Sprawdź odpowiedź

Tak samo. Liczy się wysokość słupa wody nad Tobą, nie szerokość niecki i nie „ile wody w ogóle". To najczęstsza pułapka działu.

📘 Wyjaśnienie

Prawo Pascala

Gdy zwiększasz ciśnienie z zewnątrz na zamkniętą ciecz (tłok strzykawki, pedał hamulca), ten przyrost rozchodzi się jednakowo w całej objętości i we wszystkich kierunkach. Nie „zostaje pod tłokiem". Dlatego z cienkiej igły strzykawki leci cienki, silny strumień: małe $S$ wylotu przy tym samym $p$ daje duże skutki lokalne, ale $p$ w płynie jest wszędzie podbite o to samo.

📐 PRAWO PASCALA: zwiększenie ciśnienia zewnętrznego powoduje jednakowy przyrost ciśnienia w całej objętości cieczy lub gazu.

Po ludzku: naciśnij w jednym miejscu zamkniętej butelki z wodą (przez tłok) — „dowie się o tym" cała butelka. Czym to NIE jest: obietnica, że ciśnienie jest wszędzie równe zero albo równe atmosferycznemu. Chodzi o przyrost. W basenie i tak masz dodatkowo $\rho g h$ od głębokości.

Prasa hydrauliczna (jakość + proste liczenie). Dwa tłoki, ciecz w rurze między nimi. Pascal: $p$ to samo (przyrost). $p = F_1/S_1 = F_2/S_2$, więc

$F_2 = F_1 \cdot \dfrac{S_2}{S_1}$.

Duży tłok dźwiga samochód, mały pchasz nogą. Nie darmo: duży tłok przesuwa się mniej niż mały (objętość cieczy stała) — energia się zgadza, nie liczysz tu dżuli, ale nie mów „coś za nic".

F1ciężarF2S1S2F1/S1=F2/S2przyrost ciśnienia ten sam w całej cieczy
Prasa hydrauliczna: naczynie z cieczą i dwa pionowe tłoki. Na mały tłok naciska w dół krótka strzałka siły, a duży tłok, o trzy razy większym polu, podnosi ciężar strzałką trzy razy dłuższą. W cieczy gwiazdki strzałek pokazują, że ciśnienie pcha na wszystkie strony jednakowo. Pod spodem wzór: siła pierwsza przez pole pierwsze równa się siła druga przez pole drugie · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Ciśnienie hydrostatyczne

W spoczywającej cieczy na głębokości $h$ pod taflą słup cieczy nad punktem ma ciężar. Ten ciężar na pole podstawy daje

$p = \rho g h$

(z $g \approx 10\ \text{N/kg}$ w zadaniach SP). $\rho$ — gęstość cieczy, nie ciała, które tam włożyłeś. $h$ — pionowa głębokość od tafli, nie droga po skosie w basenie.

📐 DEFINICJA — ciśnienie hydrostatyczne: ciśnienie w cieczy wywołane ciężarem słupa tej cieczy; $p = \rho g h$.

Po ludzku: im głębiej i im gęstsza ciecz, tym mocniej pcha. Czym to NIE jest: ciśnienie „od ilości wody w oceanie obok". Kształt naczynia odpada.

ciśnienie hydrostatyczne rośnie z głębokościąpatm0,5 m1,5 m2,5 mhpionowoim głębiej, tym większe p; pcha z każdej stronyto przyrost od tafli — atmosfera dochodzi osobno
Przekrój basenu. Na trzech głębokościach — pół metra, półtora metra i dwa i pół metra — zaznaczono krzyżykiem punkt w wodzie, a wokół każdego rozchodzą się strzałki ciśnienia we wszystkie strony, jednakowo długie w danym punkcie i tym dłuższe, im głębiej. Z lewej pionowa miarka pokazuje, że głębokość mierzy się w pionie od tafli · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Naczynia połączone. Rurki o różnych kształtach, wspólna ciecz, otwarte od góry: tafla ustala się na tej samej wysokości. Inaczej ciśnienia przy połączeniu by się nie zgadzały i ciecz by płynęła. Konewka, poziomica wodna, basen z przelewem.

ta sama wysokość, różne kształtywąskieszerokiewazonrozszerzonetaflaPUŁAPKAwięcej wody w szerokim naczyniuto większe ciśnienie na dnie
Cztery naczynia o różnych kształtach — wąska rurka, szeroka rura, wazon z brzuchem i naczynie rozszerzające się ku górze — są połączone u dołu wspólną rurą z wodą. Mimo różnych kształtów, różnych ilości wody i różnych wysokości krawędzi tafla stoi we wszystkich na tej samej wysokości, pokazanej jedną poziomą linią. Pod spodem przekreślona pułapka: więcej wody w szerokim naczyniu wcale nie oznacza większego ciśnienia na dnie · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

📝 Przykład — hydrostatyka. Głębokość $2{,}0\ \text{m}$, woda $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$, $g \approx 10$. Przyrost ciśnienia od tafli?

$p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 2{,}0 = 20,000\ \text{Pa} = 20\ \text{kPa}$.

To jak dodatkowe $\approx 0{,}2$ atmosfery. Uszy to czują. Na dnie 10 m byłoby $100\ \text{kPa}$ — rząd jednej atmosfery extra.

📝 Przykład — prasa. $S_2 = 20, S_1$, $F_1 = 50\ \text{N}$. Jaka $F_2$?

$F_2 = 50 \cdot 20 = 1000\ \text{N}$. Małym tłokiem „zamieniasz" 50 N na 1000 N na dużym.

Olej vs woda. We wzorze $p=\rho g h$ gęstsza ciecz przy tym samym $h$ daje większe $p$. Olej kuchenny $\rho \approx 900\ \text{kg/m}^3$ — na głębokości 1 m przyrost $\approx 9000\ \text{Pa}$, woda $10,000\ \text{Pa}$. Dlatego w zadaniach „woda czy olej" nie zgadujesz z „tłustości", tylko wkładasz $\rho$. Rtęć jest dużo gęstsza — stąd krótki słup barometru w §7.2, nie magia metalu.

Wieża ciśnień / zbiornik na dachu. Woda w kranie na parterze ma ciśnienie od wysokości słupa w rurze od zbiornika, nie od tego, jak gruba jest rura w ścianie. Szersza rura to więcej wody w instalacji, ale $h$ od tafli w zbiorniku do kranu zostaje. Dlatego zbiornik stawia się wysoko. (Zawory i pompy w prawdziwym bloku dokładają swoje — w SP zostajesz przy $\rho g h$.)

Hamulce i strzykawka (jakość). Pedał → mały tłok → przyrost $p$ w płynie hamulcowym → duże tłoczki przy klockach. Pascal: ten sam $\Delta p$ wszędzie. Nie liczysz tu tarcia klocka o tarczę; wiesz, czemu cienka rurka może przenieść pedał do koła. Strzykawka: palec na tłoku, igła ma małe $S$ — przy tym samym $p$ ciecz wylatuje szybko. To nadal spoczynek albo powolny ruch; nie wzór Bernoulliego na prędkość.

📝 Przykład — dwie ciecze. $h = 1{,}5\ \text{m}$. Woda $\rho=1000$, „sól" $\rho=1200$ (umowny roztwór). $g\approx 10$. Przyrost $p$ w obu?

Woda: $1000\cdot 10\cdot 1{,}5 = 1{,}5\cdot 10^4\ \text{Pa}$. Sól: $1{,}8\cdot 10^4\ \text{Pa}$. Głębokość ta sama, gęstość inna → uszy w Morzu Martwym na tej samej głębokości czują więcej.

💭 Pomyśl: Czajnik z dzióbkiem. Woda w dzióbku i w brzuścu — która tafla wyżej, gdy czajnik stoi spokojnie na stole?

Sprawdź odpowiedź

Równo (naczynia połączone, jedna ciecz, powietrze nad obu taflami). Dzióbek jest wąski, brzusiec szeroki — to nie podnosi wody w dzióbku. Wylewasz, gdy nachylisz czajnik, nie dlatego, że dzióbek „ssie".

🧮 Wzór i jednostki

$p = \rho g h$ oraz na tłokach $F_1/S_1 = F_2/S_2$ (ten sam przyrost $p$).

Symbol Znaczenie SI
$p$ ciśnienie hydrostatyczne (przyrost od tafli) Pa
$\rho$ gęstość cieczy $\text{kg/m}^3$
$g$ $\approx 10\ \text{N/kg}$
$h$ głębokość pionowa od tafli m
$F$, $S$ siła i pole tłoka N, m²

Założenie. Ciecz w spoczynku; $h$ nie jest długością zjeżdżalni. Atmosfery nad taflą nie wkładasz do $\rho g h$, chyba że zadanie pyta o ciśnienie całkowite.

🔬 Zrób to sam — doświadczenie V.9.d

Cel. Pokazać dwie różne rzeczy: (A) przyrost ciśnienia od nacisku rozchodzi się w cieczy jednakowo (prawo Pascala), (B) samo ciśnienie w cieczy rośnie z głębokością ($p=\rho g h$).

Potrzebne przedmioty. Dwie plastikowe butelki $1{,}5\ \text{l}$ z zakrętkami, cienki gwóźdź albo szpilka (dziurki przekłuwa dorosły), taśma klejąca, woda, miska albo zlew, linijka. Do naczyń połączonych: dwa przezroczyste kubki i kawałek giętkiej rurki (choćby od soku).

BHP — przeczytaj, zanim cokolwiek przekłujesz. Dziurki robi dorosły: gwóźdź jest ostry, a rozgrzany także gorący. Wodę lej nad miską albo w zlewie — mokra podłoga to poślizg. Cały pokaz trzymaj z dala od gniazdek, przedłużaczy i sprzętu elektrycznego. Nie bierz butelek po chemii gospodarczej. Prawdziwego pedału hamulca w samochodzie nie ruszasz — hydraulikę auta oglądasz w książce.

Część A — prawo Pascala (dziurki na tej samej wysokości).

  1. Dorosły przekłuwa w boku butelki trzy dziurki dookoła, wszystkie na tej samej wysokości. Sprawdź linijką — równa wysokość to warunek tego pokazu.
  2. Zaklej dziurki taśmą, nalej wody po samą szyjkę, mocno zakręć.
  3. Postaw butelkę w misce i odklej taśmę. Woda sączy się słabo i podobnie ze wszystkich trzech otworów.
  4. Ściśnij boki butelki dłońmi. Patrz na wszystkie trzy strumienie naraz.
  5. Puść, a potem ściśnij jeszcze raz — tym razem naciskając tylko w jednym miejscu, z dala od dziurek.

Obserwacja. Po ściśnięciu wszystkie trzy strumienie tryskają mocniej, i to w tej samej chwili — nieważne, w którym miejscu naciskasz.

Wniosek, który masz umieć powiedzieć: przyrost ciśnienia wywołany naciskiem na zamkniętą ciecz przenosi się jednakowo do każdego jej miejsca i we wszystkie strony. To jest prawo Pascala.

Wersja szkolna Części A: strzykawka bez igły z zatkanym wylotem i manometrem — naciskasz tłok, manometr pokazuje przyrost, choć stoi z boku, a nie pod tłokiem.

Część B — ciśnienie rośnie z głębokością (dziurki jedna nad drugą).

  1. W drugiej butelce dorosły przekłuwa trzy dziurki jedna nad drugą, co mniej więcej $5\ \text{cm}$, w jednej pionowej linii.
  2. Zaklej je, napełnij butelkę po szyjkę i postaw na brzegu miski. Zakrętkę tym razem zostaw odkręconą, żeby powietrze mogło wchodzić do środka.
  3. Odklej taśmę i porównaj, jak mocno tryska każdy strumień tuż przy otworze: przyłóż kartkę pionowo jakieś $5\ \text{cm}$ od butelki i zobacz, jak wysoko trafia każdy z nich. ⚠️ Nie mierz, jak DALEKO sięgają — zasięg zależy też od wysokości otworu nad miską i najdalej bije zwykle środkowy, więc porównanie zasięgów przeczyłoby temu, co widać przy samych otworach.
  4. Poczekaj, aż poziom wody opadnie o połowę, i powtórz obserwację.
  5. Naczynia połączone: połącz dwa kubki rurką wypełnioną wodą, nalej wodę do jednego z nich, a potem podnoś i opuszczaj jeden kubek o kilka centymetrów (nie tak wysoko, żeby się opróżnił).

Obserwacja. Najmocniej — najszybciej — bije strumień z dolnej dziurki; gdy poziom opada, wszystkie strumienie słabną. (Jak DALEKO doleci, zależy dodatkowo od wysokości dziurki nad dnem miski, więc najdłuższy strumień nie musi być tym z dołu.) W kubkach tafle same ustawiają się na jednej wysokości, choć kubki mogą być różnie szerokie.

Wniosek, który masz umieć powiedzieć: ciśnienie w cieczy rośnie z głębokością pod taflą — $p=\rho g h$ — i zależy od głębokości oraz gęstości cieczy, a nie od kształtu i szerokości naczynia.

Doświadczenie V.9.d — butelka z dziurkamiA — trzy dziurki na JEDNEJ wysokościściskaszz przoduPascal — przyrost wszędzie taki samściskasz w jednym miejscu — tryska ze wszystkich trzechB — trzy dziurki JEDNA NAD DRUGĄ21 cm16 cm11 cmhgłębiej znaczy mocniejstrzałka w wodzie = siła wypływu, największa przy dniejak daleko doleci, zależy też od wysokości dziurki nad miską
Doświadczenie z dwiema butelkami stojącymi w miskach. W panelu A butelka ma trzy dziurki na jednej wysokości: dwie w bocznych ściankach i jedną z przodu. Dłonie ściskają boki, w wodzie gwiazdki strzałek pokazują, że przyrost ciśnienia rozchodzi się we wszystkie strony jednakowo, a oba boczne strumienie są dokładnie tak samo długie. W panelu B butelka ma trzy dziurki jedna nad drugą; przy każdej strzałka wewnątrz butelki pokazuje prędkość wypływu, największą przy najgłębszej dziurce, a narysowane tory strumieni są policzone z praw fizyki: z dolnej dziurki woda bije najmocniej, ale sięga najbliżej, bo ma najkrócej do dna miski · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

⚠️ Uwaga, pułapka

Kształt naczynia. Ciśnienie na dnie zależy od $h$ i $\rho$, nie od tego, czy naczynie jest „brzusiaste". Paradoks hydrostatyczny — w SP wystarczy obserwacja naczyń połączonych i butelki z dziurkami.

$h$ po skosie. Głębokość to pion, nie długość zjeżdżalni w aquaparku.

Gęstość ciała zanurzonego we wzorze $p=\rho gh$. Tam $\rho$ to ciecz.

Pascal = „ciśnienie wszędzie jednakowe zawsze." Bez zewnętrznego przyrostu w basenie $p$ rośnie z $h$. Pascal mówi o dodatku z tłoka.

📐 Definicje tej lekcji

  • Prawo Pascala — jednakowy przyrost $p$ w całej objętości.
  • Ciśnienie hydrostatyczne — $p = \rho g h$.
  • Naczynia połączone — wspólna ciecz, tafla na wspólnej wysokości (przy tym samym $p$ nad taflami).

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Tłok: przyrost $p$ idzie wszędzie; $F/S$ jednakowe na tłokach.
  • $p = \rho g h$, $g \approx 10$; nie zależy od kształtu wazy.
  • Uszy w basenie: głębokość, nie szerokość basenu.
  • V.9.d: dziurki w butelce + naczynia połączone / strzykawka.

🎒 Zadania

Zadanie 7.3.1. $h = 3{,}0\ \text{m}$, woda, $g \approx 10$. $p$ hydrostatyczne? Ile to w „atmosferach szkolnych" ($10^5\ \text{Pa}$)?

Pokaż rozwiązanie

$p = 1000\cdot 10\cdot 3 = 3{,}0\cdot 10^4\ \text{Pa} = 0{,}30$ atmosfery szkolnej. Plus atmosfera nad taflą, jeśli pytają o całkowite.

Zadanie 7.3.2. Tłoki $S_1 = 8{,}0\ \text{cm}^2$, $S_2 = 80\ \text{cm}^2$. $F_1 = 20\ \text{N}$. $F_2$? (Przelicz $S$ na m² albo skróć stosunek pól.)

Pokaż rozwiązanie

$S_2/S_1 = 10$, $F_2 = 200\ \text{N}$. Stosunek cm²/cm² jest OK — jednostki się skracają.

Zadanie 7.3.3. Waza szeroka i wąska rura obok, połączone dołem, woda. Na dnie wazy ciśnienie jest większe, bo „więcej wody". Zburz to.

Pokaż rozwiązanie

Przy tej samej wysokości tafli $h$ jest to samo → $p=\rho gh$ to samo. Ilość wody w brzuścu nie wchodzi do wzoru. Naczynia połączone: tafla wyrównana.

Zadanie 7.3.4. Rybak na jeziorze i nurek pod łódką na 4 m. Kto ma większe ciśnienie hydrostatyczne wody na błonę ucha? (Rybak: $h=0$ od tafli.)

Pokaż rozwiązanie

Nurek: $h=4\ \text{m}$. Rybak nad wodą: hydrostatyka wody ≈ 0 (zostaje atmosfera). Nie mylić z „całym jeziorem dookoła".

Zadanie 7.3.5. Olej $\rho = 900\ \text{kg/m}^3$, $h = 2{,}5\ \text{m}$, $g \approx 10$. $p$ hydrostatyczne? Porównaj z wodą na tej samej $h$.

Pokaż rozwiązanie

Olej: $900\cdot 10\cdot 2{,}5 = 2{,}25\cdot 10^4\ \text{Pa}$. Woda: $2{,}5\cdot 10^4\ \text{Pa}$. Olej „ciszej" na uszy przy tym samym metrażu.

Zadanie 7.3.6. Zbiornik na dachu: tafla $12\ \text{m}$ nad kranem. Jakie $p$ od słupa wody w kranie (bez atmosfery, $g\approx 10$)? Czy grubsza rura w ścianie to zwiększy?

Pokaż rozwiązanie

$p = 1000\cdot 10\cdot 12 = 1{,}2\cdot 10^5\ \text{Pa}$. Grubość rury nie wchodzi do $\rho g h$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Podać prawo Pascala słowami „przyrost jednakowy".
  • [ ] Policzyć $p=\rho gh$ i $F_2$ z stosunku $S$.
  • [ ] Wyjaśnić pułapkę kształtu naczynia.
  • [ ] Opisać V.9.d.

Ucz się tej jednostki z asystentem