Archimedes i pływanie

🎯 Po co Ci to?

Kulka z plasteliny tonie. Z tej samej plasteliny robisz łódeczkę — pływa. Statek ze stali nie jest cudem: jest pusty w środku, jego średnia gęstość spada poniżej gęstości wody. Siłomierz pokazuje, że kamień w wodzie „chudnie" — to wypór. PP (V.7, V.9.e) chce analizy sił i warunku pływania oraz pomiaru $F_w$.

✅ Czego się nauczysz

Po tej jednostce potrafisz:

narysować ciężar $Q$, wypór $F_w$ i (gdy wisi) napięcie nici;
stosować $F_w = \rho_{\text{cieczy}} V_{\text{zanurzone}} g$;
porównać średnią gęstość ciała z gęstością cieczy (pływa / unosi się w toni / tonie);
opisać doświadczenie z siłomierzem w powietrzu i w wodzie;
wyjaśnić statek i plastelinę kształtem i średnią $\rho$, nie magią.

🔁 Przypomnij sobie

$Q = mg$; $\rho = m/V$; ciśnienie rośnie z głębokością — na spód ciała pcha mocniej niż na górę, wypadkowa z ciśnień idzie w górę. To intuicja wyporu; wzór Archimedesa omija całkowanie: wypór = ciężar wypartej cieczy.

💭 Pomyśl: Siłomierz w powietrzu pokazuje 3,0 N. Po zanurzeniu klocka w wodzie 1,2 N. Ile wynosi wypór? W którą stronę działa?

Sprawdź odpowiedź

$F_w = 3{,}0 - 1{,}2 = 1{,}8\ \text{N}$, w górę. Siłomierz łapie napięcie nici: $T = Q - F_w$ (gdy $Q > F_w$, ciało tonęłoby bez nici). Wypór nie kasuje grawitacji — zmniejsza to, co musi utrzymać nić.

📘 Wyjaśnienie

Na ciało w cieczy (albo w powietrzu — balon) działają m.in.:

ciężar $Q = mg$ — w dół;
wypór $F_w$ — w górę;
jeśli wisi na siłomierzu: napięcie nici $T$ — w górę (nić ciągnie ciało do góry).

W spoczynku na nici: $T + F_w = Q$.

Klocek wisi na nici zaczepionej u siłomierza i jest całkowicie zanurzony w wodzie. Ze środka klocka wychodzi w dół najdłuższa strzałka ciężaru, w górę średnia strzałka siły wyporu zaczepiona również w środku bryły, a wzdłuż nici najkrótsza strzałka napięcia nici. Ich długości spełniają zależność: napięcie nici plus wypór równa się ciężar · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

📐 PRAWO ARCHIMEDESA: na ciało zanurzone w cieczy (lub gazie) działa siła wyporu skierowana pionowo w górę, równa ciężarowi cieczy (gazu) wypartej przez to ciało: $F_w = \rho_{\text{cieczy}} V_{\text{zanurzone}} g$.

Po ludzku: woda „nie chce" oddać miejsca — pcha Cię w górę tak mocno, jak waży woda, którą ze stołu zepchnąłeś. Czym to NIE jest: wypór nie zależy od gęstości ciała wprost we wzorze — tylko od cieczy i od zanurzonej objętości. Gęstość ciała decyduje, ile się zanurzy, gdy pływa.

$V_{\text{zanurzone}}$: dla kamyka na dnie = całe $V$ ciała. Dla klocka drewnianego na tafli = tylko część pod wodą.

Warunek pływania

Porównaj średnią gęstość ciała $\rho_{\text{śr}} = m/V_{\text{całe}}$ z $\rho$ cieczy:

$\rho_{\text{śr}} > \rho_{\text{cieczy}}$ — tonie (osiada na dnie, jeśli naczynie ma dno);
$\rho_{\text{śr}} = \rho_{\text{cieczy}}$ — unosi się w toni (ryba, nurek z kamizelką „na zero");
$\rho_{\text{śr}} < \rho_{\text{cieczy}}$ — pływa; zanurza się tak głęboko, aż $F_w = Q$, czyli wyparta woda waży tyle co ciało.

Statek: stal jest gęstsza od wody, ale $V$ statku to stal plus powietrze w kadłubie. Średnia $\rho$ spada poniżej 1000 kg/m³. Gwóźdź nie ma tej pustki.

Plastelina. Kulka: małe $V$, duża $\rho_{\text{śr}}$ → tonie. Łódka: to samo $m$, dużo większe $V$ (kształt miseczki, powietrze w środku) → $\rho_{\text{śr}}$ maleje → pływa. Nie zmieniłeś substancji — zmieniłeś średnią gęstość przez kształt.

Dwa ujęcia tej samej masy plasteliny w zlewce z wodą. Po lewej kulka leży na dnie: strzałka ciężaru skierowana w dół jest wyraźnie dłuższa od strzałki wyporu skierowanej w górę. Po prawej z tej samej plasteliny ulepiono łódeczkę z powietrzem w środku: pływa na powierzchni z widoczną linią zanurzenia, a strzałki ciężaru i wyporu są równie długie. W tle sylwetka kontenerowca, który korzysta z tej samej sztuczki · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

📝 Przykład. $V = 2{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{m}^3$ całe w wodzie, $\rho = 1000$, $g \approx 10$. $F_w$?

$F_w = 1000 \cdot 2{,}0\cdot 10^{-3} \cdot 10 = 20\ \text{N}$.

Jeśli ciało waży 30 N — tonie (na nici $T = 10\ \text{N}$). Jeśli 15 N — wypływa i wystaje, aż $V_{\text{zan}}$ spadnie tak, by $F_w = 15\ \text{N}$.

Trzy obrazy w basenie

Tonie. Kostka stali, kulka plasteliny: nawet przy całym $V$ we wzorze $F_w = \rho_{\text{w}} V g$ wychodzi mniej niż $Q$. Wypadkowa w dół; na dnie dochodzi siła od płytek.

Unosi się w toni. Meduza, nurek z kamizelką „na zero", niektóre ryby: $\rho_{\text{śr}} \approx \rho_{\text{cieczy}}$, $F_w \approx Q$ przy pełnym zanurzeniu, bez wystawania nad taflę.

Pływa na powierzchni. Drewno, ponton, statek: $F_w = Q$ już przy częściowym zanurzeniu. Im mniejsza $\rho_{\text{śr}}$, tym mniejsza część pod wodą.

Góra lodowa. Lód jest trochę lżejszy od wody morskiej, więc większość góry jest pod taflą. To nie magia „niewidzialnej części" — to $F_w=Q$ przy $\rho_{\text{lodu}}$ bliskim $\rho_{\text{wody}}$. W SP nie musisz pamiętać 9/10; musisz: prawie cała objętość zanurzona, czubek sterczy.

Podnoszenie w basenie. Kolega „chudnie", gdy go podnosisz w wodzie: wypór bierze część $Q$, Twoje mięśnie dają resztę. Na brzegu $F_w$ z powietrza jest znikomy (małe $\rho$). Dlatego wiadro pełne wody łatwiej unieść w wodzie (np. w basenie) niż wynieść na trawnik.

Balon. To samo prawo, ciecz zastąpiona powietrzem: $F_w = \rho_{\text{powietrza}} V g$ . Gorące powietrze / hel obniża średnią gęstość balonu poniżej powietrza na zewnątrz — unosi się. Uwaga: to co innego niż ciśnienie atmosferyczne z jednostki 7.2 — tam powietrze naciska, tu wypycha ciało lżejsze od siebie.

💭 Pomyśl: W Morzu Martwym (woda bardzo słona, gęstsza) łatwiej pływać. Co we wzorze $F_w$ rośnie — $V$, $g$, czy $\rho_{\text{cieczy}}$?

Sprawdź odpowiedź

$\rho_{\text{cieczy}}$. Przy tym samym zanurzeniu wypór większy. Albo: żeby dostać $F_w = Q$, wystarczy mniejsze $V_{\text{zan}}$ — wystajesz wyżej z wody.

🧮 Wzór i jednostki

$F_w = \rho_{\text{cieczy}} V_{\text{zanurzone}} g$, z $g \approx 10$. Na nici w spoczynku: $T + F_w = Q$, więc $F_w = Q - T$.

Symbol	Znaczenie	SI
$F_w$	wypór	N
$\rho_{\text{cieczy}}$	gęstość cieczy (nie ciała)	$\text{kg/m}^3$
$V_{\text{zanurzone}}$	objętość pod cieczą	m³
$Q$, $T$	ciężar, napięcie nici	N

Założenie. $V_{\text{zanurzone}} = V$ ciała tylko gdy jest całe pod taflą. Przy pływaniu na powierzchni bierzesz część pod wodą.

🔬 Zrób to sam — doświadczenie V.9.e

Cel. Zmierzyć $F_w$; pokazać, że równa się „ubytkowi" na siłomierzu.

Ciało (klocek / ciężarek) na siłomierzu w powietrzu → $Q$ (w niutonach).
Zanurz całkowicie w zlewce z wodą (nie dotyka dna) → odczyt $T$.
$F_w = Q - T$.
Opcjonalnie: cylinder, $V$ z $V_2-V_1$ , sprawdź $F_w \stackrel{?}{=} \rho V g$ z $\rho = 1000$ , $g \approx 10$ .

Plastelina (jakość). Kulka tonie; miseczka pływa. Ta sama masa.

BHP. Siłomierz nie przeciążaj; woda; plastelina nie do zlewów szkolnych bez zgody (zatyka).

⚠️ Uwaga, pułapka

„Wypór = ciężar ciała zawsze." Tylko gdy pływa w równowadze ($F_w = Q$). Kamień na nici: $F_w < Q$.

$\rho$ we wzorze $F_w$. To gęstość cieczy, nie kamienia.

Statek z „lżejszej stali". Stal ta sama; średnia gęstości konstrukcji.

Napięcie powierzchniowe zamiast Archimedesa. Spinaczka na tafli to dział 6; kamień pod wodą to wypór. Nie mieszaj skórki z $V_{\text{zan}}$.

📐 Definicje tej lekcji

Siła wyporu $F_w$ — do góry; prawo Archimedesa.
Średnia gęstość — masa ciała przez całą objętość (z pustkami).
Warunek pływania — porównanie $\rho_{\text{śr}}$ z $\rho_{\text{cieczy}}$; przy pływaniu na tafli $F_w = Q$.

📌 Najważniejsze w pigułce

$F_w = \rho_{\text{cieczy}} V_{\text{zan}} g$, $g \approx 10$.
Na nici: $T + F_w = Q$; $F_w = Q - T$ z dwóch odczytów siłomierza.
Pływa, gdy średnia gęstość < ciecz (albo = w toni).
Statek i łódka z plasteliny: kształt → duże $V$ → mała $\rho_{\text{śr}}$.

🎒 Zadania

Zadanie 7.4.1. $Q = 5{,}0\ \text{N}$ w powietrzu, $2{,}0\ \text{N}$ w wodzie (całe zanurzone). $F_w$? $V$ ciała? ($\rho=1000$, $g\approx 10$)

Pokaż rozwiązanie

$F_w = 3{,}0\ \text{N}$ . $3{,}0 = 1000 \cdot V \cdot 10$ → $V = 3{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{m}^3$ .

Zadanie 7.4.2. Wyjaśnij parę: gwóźdź tonie, statek pływa. Te same słowa kluczowe: średnia gęstość, $V$, powietrze.

Pokaż rozwiązanie

Gwóźdź lity: $\rho_{\text{śr}}\approx\rho_{\text{stali}} > \rho_{\text{wody}}$. Statek: wielkie $V$ z powietrzem, $\rho_{\text{śr}} < \rho_{\text{wody}}$, $F_w$ może zrównać $Q$.

Zadanie 7.4.3. Plastelina: kulka tonie, łódka pływa. Co się nie zmieniło, a co tak? Odnieś do $F_w = \rho V_{\text{zan}} g$.

Pokaż rozwiązanie

Masa (i $Q$) ta sama; substancja ta sama. Zmieniło się $V$ (i $V_{\text{zan}}$ przy pływaniu). Łódka wypiera więcej wody → większy wypór aż do $F_w=Q$.

Zadanie 7.4.4. Klocek pływa, 1/4 objętości nad wodą. Jaki stosunek $\rho_{\text{śr}}/\rho_{\text{wody}}$?

Pokaż rozwiązanie

Zanurzone 3/4. $F_w=Q$ → $\rho_{\text{wody}} \cdot (3/4 V) \cdot g = \rho_{\text{śr}} V g$ → $\rho_{\text{śr}} = (3/4)\rho_{\text{wody}}$.

Zadanie 7.4.5. $V = 4{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{m}^3$ drewna pływa, zanurzone $3{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{m}^3$. $Q$ klocka? ($\rho=1000$, $g\approx 10$)

Pokaż rozwiązanie

$F_w = Q = 1000 \cdot 3{,}0\cdot 10^{-3} \cdot 10 = 30\ \text{N}$. Nie podstawiaj całego $V$ — nad wodą jest powietrze, nie woda.

Zadanie 7.4.6. W basenie podnosisz kamień $Q=40\ \text{N}$. Siłomierz pod wodą (cały kamień) 25 N. Jaki wypór? Ile „oszczędzasz" siły względem brzegu?

Pokaż rozwiązanie

$F_w=15\ \text{N}$. Na brzegu musisz dać 40 N (plus trochę na przyspieszenie); w wodzie napięcie / Twoja siła w pionie to 25 N — wypór wziął 15 N.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Narysować $Q$, $F_w$, $T$ i napisać równowagę.
[ ] Policzyć $F_w$ ze wzoru i z różnicy odczytów siłomierza.
[ ] Podać warunek pływania przez średnią gęstość.
[ ] Opisać V.9.e i sztuczkę z plasteliną.

Ucz się tej jednostki z asystentem