Wahadło i ruch okresowy

🎯 Po co Ci to?

Zegary z wahadłem, huśtawka na placu, metronom — wszystko wraca w równym rytmie. Jeśli umiesz nazwać amplitudę, okres i częstotliwość oraz odczytać je z wykresu $x(t)$, umiesz opisać nie tylko wahadło, ale i to, co za chwilę „pojedzie" falą.

wahadło: równowaga, amplituda, torpołożenie równowagitor (łuk)A2A — to NIE jest amplituda
Wahadło: nitka zawieszona w punkcie u góry, na jej końcu ciężarek. Pionowa linia przerywana pokazuje położenie równowagi, w którym wahadło wisi spokojnie. Po obu stronach narysowane są skrajne wychylenia, a łuk między nimi to tor ciężarka. Odcinek od położenia równowagi do jednego skrajnego położenia jest podpisany jako amplituda A, a cała rozpiętość od skraju do skraju jako 2A · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

✅ Czego się nauczysz

  • wskazać położenie równowagi i amplitudę;
  • posługiwać się okresem $T$ i częstotliwością $f$ oraz związkiem $T=1/f$;
  • naszkicować i odczytać wykres $x(t)$ (sinus-podobny) z zaznaczonym $T$ i $A$;
  • zmierzyć $T$ i $f$ stoperem przy wahadle (VIII.8.a).

🔁 Przypomnij sobie

Droga i czas z działu 2: tu czas między „tym samym miejscem w tym samym zwrocie" to okres. Wykres z 1.4 — rosnący/malejący — wraca jako falujący $x(t)$, nie jako nachylona prosta $s(t)$ ruchu jednostajnego.

📘 Wyjaśnienie

Równowaga i amplituda

Powieś ciężarek na nitce. Gdy wisi spokojnie, pionowo — to położenie równowagi. Odsuń go w bok i puść. Wraca, przelatuje na drugą stronę, wraca znowu. Największe odchylenie od równowagi (w jedną stronę) to amplituda $A$.

Im mocniej odciągniesz na starcie, tym większe $A$ — huśtawka „wyżej". Amplituda to nie „cała rozpiętość od lewej do prawej" (to byłoby bliżej $2A$), tylko od równowagi do skrajnego punktu.

📐 DEFINICJA — położenie równowagi: miejsce, w którym ciało w spoczynku zostaje (siły się równoważą); dla wahadła — pion pod punktem zawieszenia.

📐 DEFINICJA — amplituda $A$: maksymalne wychylenie od położenia równowagi.

Po ludzku: równowaga to „środek huśtawki"; amplituda to „jak wysoko / jak daleko na bok" w jedną stronę.

Czym to NIE jest: amplituda nie jest okresem i nie jest prędkością. Duże $A$ to szeroki zamach, niekoniecznie „szybszy zegar".

💭 Pomyśl: Huśtawka wychyla się 40 cm w lewo od spoczynku i 40 cm w prawo. Ile wynosi amplituda? Ile wynosi rozpiętość od skraju do skraju?

Sprawdź odpowiedź

Amplituda $A=40\ \text{cm}$. Od skraju do skraju jest $80\ \text{cm}=2A$. Błąd „amplituda to 80 cm" psuje potem wykres: na osi $x$ odkładasz $A$, nie $2A$.

Okres i częstotliwość

Weź stoper. Zmierz czas od skrajnego lewego punktu z powrotem do skrajnego lewego (albo: dwa minięcia równowagi w tę samą stronę). To okres $T$ — czas jednego pełnego cyklu. Jednostka: sekunda.

Częstotliwość $f$ mówi, ile takich cykli wpada w jedną sekundę. Jednostka: herc, $\text{Hz}$ (1 Hz = 1 cykl na sekundę).

$$T = \frac{1}{f},\qquad f = \frac{1}{T}.$$

Jeśli wahadło robi pełny cykl w $2\ \text{s}$, to $f=0{,}5\ \text{Hz}$ — pół cyklu na sekundę, czyli jeden cykl na dwie sekundy. Jeśli metronom tyka 2 razy na sekundę w pełnym cyklu tam-i-z powrotem… licz pełne cykle, nie pojedyncze tyknięcia, jeśli tak zdefiniujesz $T$.

Na SP nie wkuwamy $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$. Z doświadczenia i tak poczujesz: dłuższa nitka → wolniejsze wahadło (większe $T$). Masa ciężarka — przy zwykłym wahadle nitkowym prawie nie zmienia $T$ (w granicach szkolnego pomiaru). To zaskakuje — i jest OK; nie tłumaczymy tego wzorem.

🧮 Wzór i jednostki: $T$ w sekundach, $f$ w hercach. $T=1/f$ działa, gdy $f$ to liczba pełnych cykli na sekundę. Nie mieszaj z $v=s/t$ z działu 2: tam $v$ to prędkość wzdłuż drogi, tu $f$ to „ile razy na sekundę".

💭 Pomyśl: Okres $T=0{,}25\ \text{s}$. Jaka jest częstotliwość? Czy to „szybkie", czy „wolne" wahadło szkolne?

Sprawdź odpowiedź

$f=1/0{,}25=4\ \text{Hz}$ — cztery pełne cykle na sekundę. To szybko jak na długą nitkę w klasie (tam $T$ bywa bliżej sekundy). Krótka nitka daje większe $f$ . Gdzie błąd: $f=0{,}25\ \text{Hz}$ — to pomyłka „częstotliwość = okres".

wykres wychylenia w czasie0,40,81,21,622,4−33−66t (s)x (cm)A = 6 cmT = 1,2 sokres mierz grzbiet–grzbiet, nie od zera do zera(od zera do zera bywa dopiero pół okresu)
Wykres wychylenia wahadła w czasie: oś pozioma to czas w sekundach, oś pionowa to wychylenie w centymetrach, a oś czasu leży pośrodku, bo wychylenie bywa ujemne. Krzywa faluje gładko: grzbiet, przejście przez zero, dolina i znów grzbiet. Pionowy wymiar od osi do pierwszego grzbietu jest podpisany amplitudą A równą sześć centymetrów, a poziomy wymiar między dwoma sąsiednimi grzbietami — okresem T równym jedna i dwie dziesiąte sekundy · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Wykres $x(t)$ przy wahadle (małe wychylenia) wygląda jak pofalowana linia: zero, maksimum, zero, minimum, zero… Okres na wykresie to odległość w czasie między dwoma sąsiednimi tymi samymi miejscami cyklu (grzbiet–grzbiet). Amplituda to wysokość grzbietu nad osią $x=0$ (równowaga).

⚠️ Uwaga, pułapka: odczyt $T$ „od zera do zera" bywa za krótki — to często pół okresu: droga z równowagi w prawo i z powrotem przez równowagę w lewo to dopiero połowa cyklu — pełny $T$ to dwa takie odcinki. Bezpiecznie: grzbiet–grzbiet albo dwa minięcia równowagi w tę samą stronę.

Doświadczenie: stoper i wahadło

🔬 Zrób to sam (VIII.8.a). Nitka 0,6–1 m, ciężarek (plastelina, nakrętka), statyw albo klamka, stoper (telefon). Zawieszasz sam — hak, klamka albo wieszak w zupełności wystarczy.

  1. Zmierz długość nitki do środka ciężarka (linijka).
  2. Małe wychylenie — nie kręć w kółko, kołysz w płaszczyźnie.
  3. Zmierz czas 10 pełnych cykli, podziel przez 10 → $T$. (Jeden cykl na stoperze ma dużą niepewność; dziesięć ją zmniejsza — dział 1.)
  4. Policz $f=1/T$.
  5. Opcjonalnie: skróć nitkę o połowę i powtórz. $T$ maleje.

W zeszycie: tabela (długość, czas 10 cykli, $T$, $f$) i jedno zdanie: „dłuższe wahadło ma większy okres".

pomiar okresu: dziesięć cykli, nie jedentablicauczeń mierzy czasmierzę czas10 pełnych cykliokres T = zmierzony czas podzielony przez 10jeden cykl łyka cały błąd reakcji
Uczeń stoi ze stoperem w dłoni obok wahadła zawieszonego przy tablicy. Wahadło kołysze się po łuku między dwoma skrajnymi położeniami, a strzałki na łuku pokazują ruch tam i z powrotem. W dymku nad uczniem napis: mierzę czas dziesięciu pełnych cykli. Pod rysunkiem przypomnienie, że okres to zmierzony czas podzielony przez dziesięć · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

💭 Pomyśl: Zmierzysz jeden cykl: 1,2 s. Kolega zmierzył 10 cykli: 11,8 s. Który $T$ jest rozsądniejszy i dlaczego?

Sprawdź odpowiedź

Kolega: $T=11{,}8/10=1{,}18\ \text{s}$. Twój pojedynczy pomiar łyka cały błąd reakcji („kliknę za późno"). Przy dziesięciu cyklach ten sam błąd rozkłada się. To nie magia — to niepewność z 1.3.

amplituda i okres to dwie różne cechy0,61,21,82,4−33−66t (s)x (cm)wyjściowy przebiegA = 6 cmT = 1,2 s0,61,21,82,4−33−66t (s)x (cm)samo A mniejsze — gęstość ta samaA = 2 cmT = 1,2 s0,61,21,82,4−33−66t (s)x (cm)samo T mniejsze — wysokość ta samaA = 2 cmT = 0,6 sta sama skala czasu na wszystkich trzechA i T to dwa osobne pokrętła
Trzy wykresy wychylenia w czasie, jeden pod drugim, w tej samej skali czasu. Pierwszy ma amplitudę sześciu centymetrów i okres jednej i dwóch dziesiątych sekundy. W drugim zmieniono samą amplitudę na dwa centymetry: garbki są niższe, ale stoją dokładnie tak samo gęsto jak wyżej, bo okres się nie zmienił. W trzecim zmieniono sam okres na sześć dziesiątych sekundy: garbki są tej samej wysokości co w drugim, ale dwa razy gęstsze. Podpis mówi, że amplituda i okres to dwa osobne pokrętła — każde można przekręcić, nie ruszając drugiego · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

📝 Odczyt z wykresu — razem

Wyobraź sobie wykres: $x=0$ to równowaga. Pierwszy grzbiet przy $t=0{,}4\ \text{s}$, $x=6\ \text{cm}$. Następny grzbiet przy $t=1{,}6\ \text{s}$, znów $x=6\ \text{cm}$. Wtedy $A=6\ \text{cm}$ (jeśli zero jest równowagą), $T=1{,}6-0{,}4=1{,}2\ \text{s}$, $f=1/1{,}2\approx 0{,}83\ \text{Hz}$. Dolina między nimi powinna być przy $x=-6\ \text{cm}$ — jeśli nie jest, albo oś $x$ jest przesunięta, albo to nie jest czyste wahadło.

Huśtawka na placu: duże $A$ na starcie, potem tarcie i opór powietrza ścinają $A$ (krzywa na wykresie „siada"). $T$ przy małych wychyleniach zostaje prawie to samo — dlatego zegar z wahadłem da się regulować długością, nie masą ciężarka. Tego nie liczymy wzorem; to wniosek z pomiaru i z historii zegarów.

W klasie łatwo pomylić „szybkość" wahadła w dwóch znaczeniach. Prędkość ciężarka jest największa przy równowadze (przelatuje przez środek) i zerowa na skrajach (zawraca). Częstotliwość mówi, jak często wraca cały cykl — to nie jest ta sama liczba co $v$ z działu 2. Na wykresie $x(t)$ strome zbocze oznacza, że $x$ szybko się zmienia; przy skrajach krzywa jest płaska.

🌍 Powiązania: metronom i pusta struna gitary też mają „swój" $T$. Gitara to już zapowiedź 11.3: częstotliwość słyszysz jako wysokość dźwięku. Wahadło zwykle ma $f$ ułamki herca — za nisko, by było tonem; struna — setki herców. Zegar wahadłowy „trzyma czas", bo przy stałej długości nitki $T$ prawie nie zależy od tego, czy wychylenie jest 5°, czy 8° (małe kąty).

💭 Pomyśl: Na wykresie od jednego przecięcia z osią $x=0$ do następnego przecięcia mija $0{,}5\ \text{s}$. Czy $T=0{,}5\ \text{s}$?

Sprawdź odpowiedź

Zwykle nie — to często pół okresu. Z równowagi w prawo i z powrotem przez równowagę (w lewo) to dopiero połowa historii: drugi półcykl to lot w lewo i powrót. Pełny $T$ to dwa takie odcinki, tu $1\ \text{s}$, albo grzbiet–grzbiet. Błąd „od zera do zera = $T$" psuje wszystkie dalsze $f=1/T$.

📐 Definicje tej lekcji

  • Ruch okresowy — powtarza się regularnie co czas $T$.
  • Położenie równowagi, amplituda $A$, okres $T$, częstotliwość $f=1/T$.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Równowaga = środek; $A$ = maksymalne wychylenie od środka.
  • $T$ — czas pełnego cyklu; $f=1/T$ w hercach.
  • Wykres $x(t)$: $A$ to wysokość, $T$ to „szerokość" jednego garbu–garbu.
  • Pomiar: wiele cykli, potem dzielenie.

🎒 Zadania

Zadanie 11.1.1. Wahadło wykonuje 20 pełnych wahań w $30\ \text{s}$. Oblicz $T$ i $f$.

Pokaż rozwiązanie

$T=30/20=1{,}5\ \text{s}$, $f=1/1{,}5\approx 0{,}67\ \text{Hz}$. Błąd: $f=20/30$ jako „herce bez jednostki cyklu" — tu akurat $f=20/30\ \text{Hz}$ jest tym samym, bo 20 cykli / 30 s. Błąd groźniejszy: $T=30\ \text{s}$.

Zadanie 11.1.2. Na wykresie $x(t)$ grzbiet jest przy $x=8\ \text{cm}$, następny grzbiet 2 s później. Podaj $A$ i $T$. Gdzie jest równowaga?

Pokaż rozwiązanie

Jeśli oś $x=0$ to równowaga, $A=8\ \text{cm}$, $T=2\ \text{s}$. Równowaga na wykresie to linia $x=0$. Błąd: $T=2\ \text{s}$ jako czas od grzbietu do doliny (to $T/2$).

Zadanie 11.1.3. Uczeń twierdzi, że cięższy ciężarek na tej samej nitce „musi" mieć większe $T$, „bo bezwładność". Co zrobisz na doświadczeniu?

Pokaż rozwiązanie

Zmieniasz masę, zostawiasz długość i małe $A$, mierzysz 10 cykli. Na wahadle nitkowym $T$ prawie stoi. Bezwładność jest, ale w tym układzie nie tak, jak w $F=ma$ przy pchaniu skrzyni. Nie wkuwamy wzoru — wkuwamy pomiar.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • [ ] Pokazać na rysunku równowagę i $A$.
  • [ ] Liczyć $T\leftrightarrow f$.
  • [ ] Odczytać $T$ i $A$ z $x(t)$ bez pomylenia półokresu.
  • [ ] Opisać pomiar stoperem (wiele cykli).

Ucz się tej jednostki z asystentem