Wykresy, tabele i proporcjonalność
🎯 Po co Ci to?
Liczby w tabeli to surowiec; wykres zamienia je w historię: pokazuje, czy coś rośnie, maleje, czy jest stałe. Umiejętność czytania i tworzenia wykresów to jedna z najczęściej sprawdzanych umiejętności — i najużyteczniejsza w realnym życiu.
✅ Czego się nauczysz
- przedstawiać dane w tabeli i na wykresie (z opisanymi osiami);
- odczytywać informacje i rozpoznawać proporcjonalność prostą; rozumieć sens nachylenia;
- [rozszerzenie] dopasować prostą $y = ax + b$ do danych pomiarowych oraz wyznaczyć i zinterpretować współczynnik kierunkowy i punkty przecięcia z osiami.
📘 Wyjaśnienie
Mierzysz drogę roweru co sekundę i zapisujesz w tabeli. Narysuj te punkty (czas — oś pozioma, droga — pionowa) i „zobaczysz" ruch.
Zasady dobrego wykresu: opis każdej osi (wielkość + jednostka, np. „$t,\ \text{s}$"); skala liniowa i równomierna; skala dobrana tak, by dane wypełniały wykres.
💭 Pomyśl: Na wykresie drogi od czasu linia jest prosta i wznosi się. Co to mówi o ruchu? A gdyby była pozioma?
Sprawdź odpowiedź
Prosta wznosząca = droga rośnie równomiernie = stała prędkość (im stromsza, tym szybciej). Pozioma = droga się nie zmienia = ciało stoi. Kształt linii opowiada o ruchu.
📐 DEFINICJA — proporcjonalność prosta: dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $\tfrac{y}{x} = \text{const}$. Na wykresie — prosta przez początek układu ($y = ax$).
Czym to NIE jest: zależność $y = ax + b$ z $b \ne 0$ jest liniowa, ale nie proporcjonalna (prosta nie przechodzi przez zero — np. rachunek za prąd z opłatą stałą).
Nachylenie prostej $y = ax$ to $a = \tfrac{y}{x}$ — często ma sens fizyczny (na wykresie drogi od czasu to prędkość; napięcia od natężenia — opór, Dział 8).
💭 Pomyśl: Wykres drogi od czasu dla dwóch rowerzystów to dwie proste przez zero, ale jedna stromsza. Który jedzie szybciej?
Sprawdź odpowiedź
Stromszy. Większe nachylenie = większy przyrost drogi w tej samej jednostce czasu = większa prędkość.
Od tabeli do wykresu — na prawdziwych danych. Tak wygląda surowy wynik doświadczenia: do sprężyny podwieszano kolejne obciążniki i mierzono linijką jej wydłużenie $\Delta l$.
| $m$, g | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\Delta l$, cm | 1,1 | 1,9 | 3,2 | 4,1 | 4,8 |
🛠️ Teraz Ty. (a) Czy zależność jest rosnąca, czy malejąca? (b) Czy to proporcjonalność prosta? (c) Narysuj wykres $\Delta l(m)$. Na osi poziomej odłóż masę i opisz ją „$m,\ \text{g}$", a na pionowej wydłużenie, opisane „$\Delta l,\ \text{cm}$". Dobierz zakresy $0$–$250\ \text{g}$ oraz $0$–$5\ \text{cm}$, a podziałkę co $50\ \text{g}$ i co $1\ \text{cm}$, tak by punkty wypełniły całą kartkę, a nie skuliły się w rogu.
Pokaż rozwiązanie
(a) Rosnąca — większej masie odpowiada większe wydłużenie.
(b) Iloraz $\Delta l / m$, przeliczony na centymetry przypadające na $100\ \text{g}$, wynosi kolejno $2{,}20;\ 1{,}90;\ 2{,}13;\ 2{,}05;\ 1{,}92$. Nie jest idealnie stały, ale trzyma się wartości ok. $2\ \text{cm}/100\ \text{g}$ — rozrzut bierze się z niepewności pomiaru (§1.6), a nie z fizyki. To proporcjonalność prosta: punkty układają się wzdłuż prostej przechodzącej przez początek układu (bez obciążnika sprężyna się nie rozciąga).
(c) Punkty rosną równomiernie w prawo i w górę. Nie łącz ich łamaną — poprowadź jedną prostą przez środek chmury punktów. Zdanie „proporcjonalność" rozstrzygasz na wykresie: prosta ma trafiać w początek układu.
[rozszerzenie] Dopasowanie prostej do danych pomiarowych
W prawdziwym doświadczeniu punkty nie leżą idealnie na prostej — rozsypują się wokół niej z powodu niepewności pomiaru (§1.6). Fizyk dopasowuje prostą tak, by oddawała trend (przechodziła „przez środek" chmury punktów, z mniej więcej równą liczbą punktów po obu stronach). Ogólna prosta: $$y = ax + b,$$
- $a$ — współczynnik kierunkowy: $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, liczony z dwóch dobrze rozsuniętych punktów leżących na dopasowanej prostej (nie z surowych pomiarów!);
- $b$ — wyraz wolny: wartość $y$ w miejscu przecięcia z osią rzędnych ($x=0$);
- przecięcie z osią odciętych ($y=0$): $x = -\tfrac{b}{a}$.
💭 Pomyśl: Po co dopasowywać prostą, skoro mam punkty? Czemu nie połączyć ich łamaną?
Sprawdź odpowiedź
Łamana „goni za szumem". Dopasowana prosta uśrednia błędy przypadkowe i ujawnia trend. Jej nachylenie (często szukana wielkość) wyznaczamy z wielu punktów naraz — dokładniej niż z jednego pomiaru. To podstawowa metoda analizy danych.
📝 Przykład. Dopasowana prosta drogi od czasu przechodzi przez $(2\ \text{s};\ 13\ \text{m})$ i $(8\ \text{s};\ 31\ \text{m})$. Nachylenie: $a = \tfrac{31-13}{8-2} = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — to prędkość. Wyraz wolny z $13 = 3\cdot 2 + b \Rightarrow b = 7\ \text{m}$ — droga początkowa. Ciało ruszyło z $7\ \text{m}$ i jedzie $3\ \text{m/s}$.
🛠️ Teraz Ty. Dopasowana prosta $y = ax + b$ przechodzi przez $(0;\ 4)$ i $(5;\ 14)$. Wyznacz $a$, $b$ i miejsce przecięcia z osią odciętych.
Pokaż rozwiązanie
$a = \tfrac{14-4}{5-0} = 2$; $b = 4$; przecięcie z osią $x$: $0 = 2x+4 \Rightarrow x = -2$.
🛠️ Teraz Ty [R]. Wróć do tabeli wydłużenia sprężyny wyżej i dopasuj prostą do tych punktów. Odczytaj $a$ oraz $b$ i powiedz, co każde z nich znaczy fizycznie.
Pokaż rozwiązanie
Prosta poprowadzona przez środek chmury punktów przechodzi przez $(50\ \text{g};\ 1{,}0\ \text{cm})$ i $(250\ \text{g};\ 5{,}0\ \text{cm})$. Stąd
$$a = \frac{5{,}0 - 1{,}0}{250 - 50} = 0{,}020\ \frac{\text{cm}}{\text{g}}, \qquad b = 1{,}0 - 0{,}020 \cdot 50 = 0{,}0\ \text{cm}.$$
Nachylenie mówi, o ile centymetrów wydłuża się ta sprężyna na każdy dodatkowy gram obciążenia — czyli $2{,}0\ \text{cm}$ na $100\ \text{g}$. To miara „miękkości" sprężyny i zapowiedź prawa Hooke'a (§5.1). Wyraz wolny wyszedł zerowy i tak być powinno: bez obciążnika wydłużenie jest zerowe. Gdyby $b$ wyszło wyraźnie różne od zera, byłby to sygnał błędu systematycznego (§1.6) — np. źle ustawionego zera skali.
⚠️ Uwaga, pułapka
Linia prosta to nie zawsze proporcjonalność — sprawdź, czy przechodzi przez początek. Druga [R] pułapka: nachylenie liczymy z punktów na dopasowanej prostej, nie z dwóch surowych punktów pomiarowych (te mogą leżeć obok prostej i dać zafałszowane $a$).
📖 Praca z tekstem
„Po podwojeniu mocy grzałki czas zagotowania wody skrócił się dokładnie o połowę." 💭 Pytanie: Jaki to typ zależności?
Sprawdź odpowiedź
Odwrotna proporcjonalność: jedna rośnie 2×, druga maleje 2× (stały iloczyn, nie iloraz). Na wykresie — hiperbola, nie prosta.
📐 Definicje tej lekcji
- Proporcjonalność prosta — $y/x = \text{const}$; prosta przez początek.
- Nachylenie (współczynnik kierunkowy) — $a = \Delta y / \Delta x$; często ma sens fizyczny.
- [R] Wyraz wolny $b$ — wartość $y$ przy $x = 0$ (przecięcie z osią rzędnych).
📌 Najważniejsze w pigułce
- Wykres ujawnia zależność; opisuj osie, używaj równomiernej skali.
- Proporcjonalność prosta = prosta przez początek, stały iloraz $y/x$.
- Nachylenie często samo jest wielkością fizyczną.
- [R] Do danych dopasowujemy prostą $y = ax + b$: $a$ z dwóch punktów na prostej, $b$ z przecięcia z osią $y$.
🎒 Zadania
Zadanie 1.4.1. Czy zależność jest proporcjonalna? $x$: 1, 2, 3; $y$: 3, 5, 7.
Pokaż rozwiązanie
Ilorazy $3;\ 2{,}5;\ 2{,}33$ — niestałe → NIE. To liniowa $y = 2x + 1$ (nie przez zero).
Zadanie 1.4.2. Na wykresie drogi od czasu prosta przez punkty $(0;0)$ i $(4\ \text{s};\ 20\ \text{m})$. Nachylenie i jego sens?
Pokaż rozwiązanie
$a = \tfrac{20}{4} = 5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — to prędkość $5\ \text{m/s}$.
Zadanie 1.4.3. [R] W doświadczeniu z prawem Ohma dopasowana prosta $U(I)$ przechodzi przez $(0{,}2\ \text{A};\ 1\ \text{V})$ i $(0{,}6\ \text{A};\ 3\ \text{V})$, przez początek. Wyznacz opór.
Pokaż rozwiązanie
$R = a = \tfrac{3-1}{0{,}6-0{,}2} = 5\ \Omega$. Prosta przez zero → czyste prawo Ohma. Opór z nachylenia (wiele punktów) jest dokładniejszy niż z jednego pomiaru.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Narysować wykres danych z tabeli: opisać osie, dobrać zakres i podziałkę.
- [ ] Rozpoznać z tabeli zależność rosnącą/malejącą, a z wykresu — proporcjonalność prostą.
- [ ] Wyjaśnić sens fizyczny nachylenia.
- [ ] [R] Dopasować prostą do danych, wyznaczyć $a$, $b$ i zinterpretować przecięcia z osiami.