Ruch prostoliniowy jednostajny i jednostajnie zmienny

🎯 Po co Ci to?

To dwa najprostsze, a zarazem najważniejsze rodzaje ruchu. Jednostajny opisuje jazdę ze stałą prędkością; jednostajnie zmienny — m.in. spadek swobodny, czyli sposób, w jaki cokolwiek spada na Ziemię. Opanujesz tu wzory, które będą wracać do matury i dalej.

✅ Czego się nauczysz

• opisywać ruch jednostajny ($v=\text{const}$) i jednostajnie zmienny ($a=\text{const}$);
• stosować zależności $s$, $v$, $a$ od czasu;
• [rozszerzenie] sporządzać i analizować wykresy $s(t)$, $v(t)$, $a(t)$ oraz odczytywać z nich wielkości (w tym drogę jako pole pod wykresem prędkości).

📘 Wyjaśnienie

Ruch jednostajny prostoliniowy: prędkość stała, $a = 0$. Droga rośnie wprost proporcjonalnie do czasu (pamiętasz proporcjonalność z §1.4?):

$$s = v,t.$$

📐 DEFINICJA — ruch jednostajny prostoliniowy: ruch po linii prostej ze stałą prędkością (stała wartość, kierunek i zwrot). Przyspieszenie jest zerowe.

Ruch jednostajnie zmienny: stałe przyspieszenie $a$. Prędkość rośnie (lub maleje) liniowo:

$$v = v_0 + a,t, \qquad s = v_0,t + \tfrac{1}{2}a,t^2.$$

📐 DEFINICJA — ruch jednostajnie zmienny: ruch po linii prostej ze stałym przyspieszeniem (stała wartość, kierunek i zwrot). Gdy $a$ jest zgodne z prędkością — ruch przyspieszony; gdy przeciwne — opóźniony.

Najważniejszy przykład: spadek swobodny. Każde ciało (gdy pominiemy opór powietrza) spada z tym samym przyspieszeniem $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$ — niezależnie od masy (to odkrycie Galileusza z §1.8!). Dla spadku bez prędkości początkowej: $v = g,t$, $h = \tfrac{1}{2}g,t^2$.

💭 Pomyśl: Upuszczasz kamień ze skały. Po ilu sekundach jego prędkość osiągnie $20\ \text{m/s}$? (Przyjmij $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.)

Sprawdź odpowiedź

$v = g t \Rightarrow t = \dfrac{v}{g} = \dfrac{20}{10} = 2\ \text{s}$. Po 2 sekundach. A droga spadku w tym czasie: $h = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2 = 20\ \text{m}$.

[rozszerzenie] Wykresy ruchu i pole pod wykresem

Wykresy mówią o ruchu od pierwszego spojrzenia (§1.4):

• $s(t)$: prosta → ruch jednostajny; parabola → jednostajnie zmienny. Nachylenie $s(t)$ = prędkość.
• $v(t)$: pozioma → jednostajny; prosta wznosząca → jednostajnie przyspieszony. Nachylenie $v(t)$ = przyspieszenie.
• Pole pod wykresem $v(t)$ = droga. To potężne narzędzie: nawet dla zmiennego ruchu droga to pole figury pod wykresem prędkości.

💭 Pomyśl: Na wykresie $v(t)$ prędkość rośnie liniowo od 0 do $10\ \text{m/s}$ w ciągu 4 s. Jaką drogę przebyło ciało?

Sprawdź odpowiedź

Pole pod wykresem to trójkąt: $\tfrac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość} = \tfrac{1}{2} \cdot 4\ \text{s} \cdot 10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 20\ \text{m}$. Sprawdzenie wzorem ($v_0=0$, $a = 10/4 = 2{,}5$): $s = \tfrac{1}{2} \cdot 2{,}5 \cdot 4^2 = 20\ \text{m}$. ✓

Odczyt parametrów ruchu z tabeli. Na maturze dane bywają podane nie wzorem i nie wykresem, lecz tabelą. Oto pomiar ruchu wózka staczającego się z równi:

$t$, s	0	1	2	3	4
$x$, m	0	2	8	18	32
$v$, m/s	0	4	8	12	16

🛠️ Teraz Ty [R]. Korzystając wyłącznie z tabeli: (a) rozpoznaj rodzaj ruchu; (b) wyznacz przyspieszenie; (c) podaj drogę przebytą między $1\ \text{s}$ a $3\ \text{s}$; (d) oblicz położenie w chwili $t = 2{,}5\ \text{s}$; (e) sporządź wykres $v(t)$ — opisz osie („$t,\ \text{s}$" i „$v,\ \text{m/s}$"), dobierz zakresy $0$–$4\ \text{s}$ oraz $0$–$16\ \text{m/s}$ i podziałkę co $1\ \text{s}$ i co $2\ \text{m/s}$ — a potem policz pole pod tym wykresem i porównaj je z ostatnią kolumną wiersza $x$.

Pokaż rozwiązanie

(a) Prędkość rośnie o tyle samo w każdej sekundzie ($0 \to 4 \to 8 \to 12 \to 16$) — to ruch jednostajnie przyspieszony. (Położenie rośnie coraz szybciej, jak parabola $x \sim t^2$.)

(b) $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{16 - 0}{4 - 0} = 4\ \text{m/s}^2$.

(c) Droga to różnica położeń: $s = x(3) - x(1) = 18 - 2 = 16\ \text{m}$. (Nie $18\ \text{m}$ — to byłoby położenie, nie droga od chwili $1\ \text{s}$.)

(d) Chwili $2{,}5\ \text{s}$ nie ma w tabeli, ale rodzaj ruchu już znasz: $x = \tfrac{1}{2}at^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2{,}5^2 = 12{,}5\ \text{m}$ — między $8$ a $18\ \text{m}$, czyli tam, gdzie powinno być.

(e) Punkty $v(t)$ leżą na prostej wznoszącej od $(0;0)$ do $(4;16)$. Pole pod nią to trójkąt: $\tfrac{1}{2} \cdot 4\ \text{s} \cdot 16\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 32\ \text{m}$ — dokładnie tyle, ile wynosi $x(4)$ z tabeli. ✓ Tabela i wykres mówią to samo, tylko innym językiem.

📝 Przykład krok po kroku — hamowanie

Samochód jedzie $20\ \text{m/s}$ i hamuje z opóźnieniem $5\ \text{m/s}^2$. Po jakim czasie się zatrzyma i jaką drogę przejedzie?

1. Zatrzymanie: $v = v_0 - a t = 0 \Rightarrow t = \dfrac{v_0}{a} = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{s}$.
2. Droga: $s = v_0 t - \tfrac{1}{2}a t^2 = 20 \cdot 4 - \tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16 = 80 - 40 = 40\ \text{m}$.

Droga hamowania to 40 m — warto pamiętać, że rośnie ona z kwadratem prędkości (dwa razy szybciej → cztery razy dłuższa droga hamowania).

⚠️ Uwaga, pułapka

We wzorze $s = v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^2$ przy hamowaniu (opóźnieniu) przyspieszenie jest przeciwne do prędkości — wstawiamy je ze znakiem minus. Wstawienie „plus" da bzdurę (droga rosłaby w nieskończoność mimo hamowania).

📐 Definicje tej lekcji

• Ruch jednostajny prostoliniowy — $v=\text{const}$, $a=0$, $s = vt$.
• Ruch jednostajnie zmienny — $a=\text{const}$, $v = v_0 + at$, $s = v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$.
• Spadek swobodny — ruch jednostajnie przyspieszony z $a = g$, niezależnie od masy.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Jednostajny: $s = vt$. Jednostajnie zmienny: $v = v_0 + at$, $s = v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$.
• Spadek swobodny: $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$, niezależnie od masy.
• Droga hamowania rośnie z kwadratem prędkości.
• [R] Nachylenie $s(t)$ = prędkość; nachylenie $v(t)$ = przyspieszenie; pole pod $v(t)$ = droga.

🎒 Zadania

Zadanie 2.3.1. Ciało spada swobodnie przez 3 s. Jaką ma wtedy prędkość i jaką przebyło drogę? ($g \approx 10\ \text{m/s}^2$)

Pokaż rozwiązanie

$v = g t = 10 \cdot 3 = 30\ \text{m/s}$; $h = \tfrac{1}{2} g t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 9 = 45\ \text{m}$.

Zadanie 2.3.2. Rowerzysta jedzie jednostajnie $6\ \text{m/s}$ przez 2 minuty. Jaką przebył drogę?

Pokaż rozwiązanie

$t = 120\ \text{s}$; $s = vt = 6 \cdot 120 = 720\ \text{m}$. (Pułapka: minuty zamień na sekundy!)

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Stosować wzory ruchu jednostajnego i jednostajnie zmiennego.
• [ ] Opisać spadek swobodny i obliczyć prędkość/drogę.
• [ ] [R] Sporządzić wykres $v(t)$ z danych: opisać osie, dobrać zakres i podziałkę.
• [ ] [R] Czytać wykresy $s(t)$, $v(t)$, $a(t)$ i wyznaczać drogę jako pole pod $v(t)$.
• [ ] [R] Odczytać z tabeli rodzaj ruchu, przyspieszenie, położenie i drogę.

---