Kinematyka ruchu po okręgu

🎯 Po co Ci to?

Koło zamachowe, karuzela, satelita, Księżyc — wszystkie poruszają się po okręgu. Ten ruch ma swój własny język (okres, częstotliwość), bo „prędkość $20\ \text{m/s}$" nie mówi, ile razy na sekundę coś okrąży środek.

✅ Czego się nauczysz

• opisywać ruch jednostajny po okręgu okresem i częstotliwością;
• [rozszerzenie] posługiwać się prędkością kątową i przyspieszeniem dośrodkowym; stosować związki między nimi (miara łukowa kąta).

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA — okres i częstotliwość: Okres $T$ — czas jednego pełnego obiegu (jednostka: sekunda). Częstotliwość $f$ — liczba obiegów na sekundę: $f = \dfrac{1}{T}$ (jednostka: herc, $1\ \text{Hz} = \tfrac{1}{\text{s}}$).

Prędkość liniowa (po obwodzie): ciało w czasie $T$ pokonuje obwód $2\pi r$, więc $$v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f.$$

💭 Pomyśl: Karuzela robi jeden obrót w 4 s. Jaki ma okres i częstotliwość? Z jaką prędkością liniową porusza się dziecko siedzące 3 m od środka? (przyjmij $\pi \approx 3{,}14$)

Sprawdź odpowiedź

$T = 4\ \text{s}$; $f = \tfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{Hz}$. Prędkość: $v = \tfrac{2\pi r}{T} = \tfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 3}{4} \approx 4{,}7\ \text{m/s}$. Im dalej od środka, tym większa prędkość liniowa (przy tym samym okresie) — dziecko na brzegu „śmiga" szybciej.

[rozszerzenie] Prędkość kątowa i przyspieszenie dośrodkowe

Ruch po okręgu można opisać nie drogą po łuku, lecz kątem. Kąt zakreślony przez promień łączący ciało ze środkiem nazywamy przemieszczeniem kątowym $\Delta\varphi$ i mierzymy go w radianach (rad) — pełny obieg to $\Delta\varphi = 2\pi\ \text{rad}$. Radian jest tak dobrany, że długość zakreślonego łuku wynosi po prostu $\Delta s = r,\Delta\varphi$.

Zamiast pytać „ile metrów na sekundę", możemy więc pytać „ile radianów na sekundę" — to prędkość kątowa $\omega$:

$$\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \qquad v = \omega r.$$

Zaletę widać od razu: wszystkie punkty obracającej się tarczy mają tę samą prędkość kątową, choć każdy ma inną prędkość liniową (bo $v = \omega r$ rośnie z odległością od osi).

W ruchu po okręgu prędkość ciągle zmienia kierunek, więc (z §2.2) istnieje przyspieszenie — skierowane do środka okręgu, zwane dośrodkowym: $$a_d = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r.$$

💭 Pomyśl: Dlaczego ciało w ruchu jednostajnym po okręgu ma przyspieszenie, skoro jego szybkość się nie zmienia?

Sprawdź odpowiedź

Bo przyspieszenie to zmiana wektora prędkości, a nie tylko jej wartości. Wartość prędkości jest stała, ale kierunek zmienia się nieustannie — wektor prędkości „obraca się". Ta zmiana kierunku to właśnie przyspieszenie dośrodkowe, zwrócone do środka okręgu. Bez niego ciało poleciałoby prosto (po stycznej).

📐 Definicje tej lekcji

• Okres $T$ — czas jednego obiegu.
• Częstotliwość $f = 1/T$ — liczba obiegów na sekundę (Hz).
• [R] Przemieszczenie kątowe $\Delta\varphi$ — kąt zakreślony przez promień (rad); łuk $\Delta s = r,\Delta\varphi$.
• [R] Prędkość kątowa $\omega = \Delta\varphi/\Delta t = 2\pi/T$ — szybkość zmiany kąta (rad/s); $v = \omega r$.
• [R] Przyspieszenie dośrodkowe $a_d = v^2/r = \omega^2 r$ — zwrócone do środka okręgu.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $T$ — czas obiegu; $f = 1/T$; $v = 2\pi r/T$.
• Większy promień (przy tym samym $T$) → większa prędkość liniowa.
• [R] Kąt mierzymy w radianach: $\Delta\varphi$, pełny obieg $2\pi\ \text{rad}$, łuk $\Delta s = r,\Delta\varphi$.
• [R] $\omega = 2\pi/T$, $v = \omega r$, $a_d = v^2/r = \omega^2 r$ (do środka).

🎒 Zadania

Zadanie 2.5.1. Wentylator robi 300 obrotów na minutę. Jaki ma okres i częstotliwość?

Pokaż rozwiązanie

300 obr/min = 5 obr/s, więc $f = 5\ \text{Hz}$, $T = \tfrac{1}{5} = 0{,}2\ \text{s}$.

Zadanie 2.5.2. [R] Punkt na obwodzie koła ($r = 0{,}5\ \text{m}$) porusza się z prędkością $v = 10\ \text{m/s}$. Oblicz przyspieszenie dośrodkowe.

Pokaż rozwiązanie

$a_d = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{10^2}{0{,}5} = 200\ \text{m/s}^2$ — skierowane do środka koła.

Zadanie 2.5.3. [R] Karuzela z zadania wyżej robi jeden obrót w $T = 4\ \text{s}$, a dziecko siedzi $r = 3\ \text{m}$ od osi ($\pi \approx 3{,}14$). Oblicz: (a) prędkość kątową; (b) przemieszczenie kątowe i długość łuku w ciągu $2\ \text{s}$; (c) prędkość liniową ze związku $v = \omega r$; (d) przyspieszenie dośrodkowe dwoma wzorami.

Pokaż rozwiązanie

(a) $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14}{4} = 1{,}57\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.

(b) $2\ \text{s}$ to pół okresu, więc $\Delta\varphi = \omega,\Delta t = 1{,}57 \cdot 2 = 3{,}14\ \text{rad}$ (czyli $\pi$ — pół obiegu, zgodnie z oczekiwaniem). Łuk: $\Delta s = r,\Delta\varphi = 3 \cdot 3{,}14 = 9{,}42\ \text{m}$ — dokładnie połowa obwodu. ✓

(c) $v = \omega r = 1{,}57 \cdot 3 = 4{,}71\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — ta sama wartość, którą wyżej policzyliśmy z $v = \tfrac{2\pi r}{T}$. Oba wzory to ten sam związek, zapisany inaczej.

(d) $a_d = \omega^2 r = 1{,}57^2 \cdot 3 = 2{,}46 \cdot 3 \approx 7{,}4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ oraz $a_d = \tfrac{v^2}{r} = \tfrac{4{,}71^2}{3} = \tfrac{22{,}2}{3} \approx 7{,}4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. ✓ Rachunek jednostek: $\text{rad}$ jest bezwymiarowy, więc $\left(\tfrac{1}{\text{s}}\right)^2 \cdot \text{m} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ — zgadza się.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Posługiwać się okresem, częstotliwością i prędkością liniową.
• [ ] [R] Posługiwać się przemieszczeniem kątowym w radianach i związkiem $\Delta s = r,\Delta\varphi$.
• [ ] [R] Stosować do obliczeń związki $\omega = 2\pi/T$, $v = \omega r$, $a_d = v^2/r = \omega^2 r$.
• [ ] [R] Wyjaśnić, czemu przyspieszenie dośrodkowe jest zwrócone do środka.

---