Praca, moc, energia, sprawność

🎯 Po co Ci to?

Energia to być może najważniejsze pojęcie w całej fizyce — wielkość, która się nie gubi, tylko zamienia z jednej postaci w drugą. Dzięki niej opiszesz ruch, nie śledząc każdej chwili z osobna.

✅ Czego się nauczysz

• posługiwać się pracą, mocą, energią kinetyczną i potencjalną;
• stosować zasadę zachowania energii mechanicznej do obliczeń;
• [rozszerzenie] posługiwać się sprawnością urządzeń mechanicznych;
• [rozszerzenie] wykorzystywać równość pracy siły wypadkowej i zmiany energii kinetycznej;
• [rozszerzenie] interpretować pole pod wykresem siły od drogi oraz mocy od czasu jako pracę;
• [rozszerzenie] opisywać ruch ciał na równi pochyłej.

📘 Wyjaśnienie

Praca wykonywana jest, gdy siła przesuwa ciało. Gdy siła jest zgodna z przemieszczeniem:

$$W = F,s \quad (\text{ogólnie } W = F s \cos\alpha, \text{ gdzie } \alpha \text{ to kąt między siłą a przemieszczeniem}).$$

Jednostka: dżul ($1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m}$).

💭 Pomyśl: Trzymasz ciężką walizkę nieruchomo w wyciągniętej ręce przez minutę. Czy wykonujesz pracę w sensie fizycznym?

Sprawdź odpowiedź

W sensie fizycznym — nie, bo walizka się nie przemieszcza ($s = 0 \Rightarrow W = 0$). Twoje mięśnie się męczą (zużywają energię biologiczną), ale praca mechaniczna nad walizką jest zerowa. To dobry przykład, że fizyczne pojęcie pracy różni się od potocznego „wysiłku".

📐 DEFINICJA — praca i moc: Praca $W = F s \cos\alpha$ (dżul) — miara energii przekazanej przez siłę przy przemieszczeniu. Moc $P = \dfrac{W}{t}$ (wat, $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$) — szybkość wykonywania pracy.

Energia to zdolność do wykonania pracy. Dwie kluczowe postacie mechaniczne:

• kinetyczna (energia ruchu): $E_k = \dfrac{mv^2}{2}$;
• potencjalna grawitacji (energia położenia): $E_p = mgh$.

📐 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ: gdy nie działają opory (tarcie), suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała: $E_k + E_p = \text{const}$. Energia przelewa się między postaciami, ale jej całość się nie zmienia.

💭 Pomyśl: Puszczasz wózek z górki bez tarcia. Jak zmieniają się jego energie? Gdzie prędkość jest największa?

Sprawdź odpowiedź

Na górze: dużo energii potencjalnej, zero kinetycznej (stoi). Zjeżdżając, $E_p$ maleje, a $E_k$ rośnie — energia „przelewa się". Na dole prędkość jest największa, bo cała energia potencjalna zamieniła się w kinetyczną. Suma $E_k + E_p$ jest cały czas taka sama. To zasada zachowania energii w działaniu.

[rozszerzenie] Sprawność urządzeń mechanicznych

Realne maszyny mają straty: tarcie i opory zamieniają część włożonej energii w ciepło, więc nigdy nie oddają jej całej. Opisuje to sprawność:

$$\eta = \frac{W_{\text{użyteczna}}}{W_{\text{włożona}}} \quad (\text{zwykle} < 1, \text{ podawana w %}).$$

📐 DEFINICJA — sprawność urządzenia: stosunek pracy (energii) użytecznej — tej, po którą sięgnęliśmy — do pracy (energii) włożonej. Wielkość bezwymiarowa, zwykle podawana w procentach.

Czym to NIE jest: sprawność większa od $100%$ nie istnieje — oznaczałaby, że urządzenie produkuje energię z niczego, wbrew zasadzie zachowania energii.

📝 Przykład. Wciągarka podnosi skrzynię o masie $50\ \text{kg}$ na wysokość $4\ \text{m}$, pobierając przy tym $2500\ \text{J}$ energii ($g \approx 10$). Praca użyteczna to podniesienie ciężaru: $W_{uż} = mgh = 50 \cdot 10 \cdot 4 = 2000\ \text{J}$. Zatem $\eta = \tfrac{2000}{2500} = 0{,}8 = 80%$. Brakujące $500\ \text{J}$ poszło w tarcie w linie i bębnie — zamieniło się w ciepło.

[rozszerzenie] Pole pod wykresem siły i ruch na równi

Gdy siła nie jest stała, pracy nie policzymy prostym $W = Fs$. Ale (analogicznie do drogi jako pola pod $v(t)$ z §2.3) praca to pole pod wykresem $F(s)$ — zależności siły od położenia. To pozwala liczyć pracę nawet dla zmiennej siły bez rachunku całkowego (np. dla rozciąganej sprężyny, §5.4).

Równia pochyła to popisowy przykład rozkładu sił na składowe (§1.3). Siłę ciężkości $Q = mg$ rozkładamy na: składową wzdłuż równi $Q_\parallel = mg\sin\alpha$ (ściąga ciało w dół) i prostopadłą $Q_\perp = mg\cos\alpha$ (dociska, decyduje o tarciu). Dzięki temu policzysz przyspieszenie zsuwającego się ciała.

💭 Pomyśl: Im bardziej stroma równia, tym ciało zsuwa się szybciej. Która składowa ciężaru za to odpowiada i dlaczego rośnie?

Sprawdź odpowiedź

Składowa wzdłuż równi, $mg\sin\alpha$. Gdy kąt $\alpha$ rośnie, $\sin\alpha$ rośnie, więc składowa ściągająca jest większa → większe przyspieszenie. Dla $\alpha = 90^\circ$ (pionowa „równia") $\sin 90^\circ = 1$ i mamy zwykły spadek swobodny. Składowa dociskająca ($mg\cos\alpha$) wtedy znika — stąd brak tarcia w swobodnym spadku.

[rozszerzenie] Ruch na równi — przyspieszenie, prędkość, droga

Rozkład sił to dopiero przygotowanie. Gdy równia jest gładka, wzdłuż niej działa tylko $Q_\parallel = mg\sin\alpha$, więc z II zasady dynamiki ($ma = mg\sin\alpha$, masa się skraca):

$$a = g\sin\alpha.$$

Dalej to już zwykły ruch jednostajnie zmienny z §2.3: $v = at$, $s = \tfrac{1}{2}at^2$, $v = \sqrt{2as}$.

📝 Przykład. Klocek zsuwa się bez tarcia z równi o kącie $\alpha = 30^\circ$ i długości $s = 10\ \text{m}$ ($g \approx 10$, $\sin 30^\circ = 0{,}5$).

1. Przyspieszenie: $a = g\sin\alpha = 10 \cdot 0{,}5 = 5\ \text{m/s}^2$.
2. Prędkość u dołu: $v = \sqrt{2as} = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 10} = 10\ \text{m/s}$.
3. Czas zjazdu: $t = \dfrac{v}{a} = \dfrac{10}{5} = 2\ \text{s}$.

Sprawdzenie zasadą zachowania energii: wysokość równi to $h = s\sin\alpha = 5\ \text{m}$, więc $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{100} = 10\ \text{m/s}$. ✓ Dwie różne drogi, ten sam wynik.

Gdy równia nie jest gładka, tarcie kinetyczne $T_k = \mu_k N = \mu_k mg\cos\alpha$ (§2.10) odejmuje się od siły ściągającej:

$$a = g,(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha).$$

Dla $\alpha = 30^\circ$ i $\mu_k = 0{,}2$ ($\cos 30^\circ \approx 0{,}87$): $a = 10,(0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}87) \approx 3{,}3\ \text{m/s}^2$ — wyraźnie mniej niż $5\ \text{m/s}^2$. Gdy $\sin\alpha \le \mu_s\cos\alpha$, ciało w ogóle nie ruszy (stąd doświadczenie D w §2.15).

[rozszerzenie] Praca siły wypadkowej a zmiana energii kinetycznej

Jest jeszcze jedna droga od siły do prędkości, krótsza niż kinematyka. Praca siły wypadkowej na drodze $s$ równa się zmianie energii kinetycznej ciała:

$$W_{\text{wyp}} = \Delta E_k = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}.$$

To nie jest nowa zasada — to zasada zachowania energii zapisana od strony siły. Gdy wypadkowa jest zgodna z ruchem, ciało przyspiesza ($W > 0$); gdy przeciwna (hamowanie, tarcie), $W < 0$ i energia kinetyczna maleje.

📝 Przykład. Na klocek o masie $2\ \text{kg}$, spoczywający na gładkim stole, działa wypadkowa siła $4\ \text{N}$ na drodze $4\ \text{m}$. Jaką prędkość osiągnie?

1. Praca wypadkowej: $W = F s = 4 \cdot 4 = 16\ \text{J}$.
2. Skoro startuje ze spoczynku, $W = E_k$: $\tfrac{2 v^2}{2} = 16 \Rightarrow v^2 = 16$, czyli $v = 4\ \text{m/s}$.

Sprawdzenie kinematyką: $a = \tfrac{F}{m} = 2\ \text{m/s}^2$, $v^2 = 2as = 2\cdot2\cdot4 = 16$. ✓ Metoda energetyczna była krótsza — i nie wymagała czasu ani przyspieszenia.

[rozszerzenie] Pole pod wykresem mocy od czasu

Tak samo jak praca kryje się pod wykresem $F(s)$, kryje się też pod wykresem mocy od czasu $P(t)$. Dla stałej mocy $W = P,t$ to pole prostokąta; dla mocy zmiennej — pole figury pod krzywą.

📝 Przykład. Wciągarka rusza łagodnie: jej moc rośnie liniowo od $0$ do $3\ \text{kW}$ w ciągu $20\ \text{s}$. Pole pod wykresem to trójkąt: $W = \tfrac{1}{2} \cdot 20\ \text{s} \cdot 3000\ \text{W} = 30,000\ \text{J} = 30\ \text{kJ}$. Gdyby przez cały czas pracowała z pełną mocą, byłoby dwa razy więcej — $60\ \text{kJ}$.

⚠️ Nie pomyl obu wykresów: pod $F(s)$ na osi poziomej jest droga, pod $P(t)$ — czas. Sprawdzianem jest rachunek jednostek: $\text{N}\cdot\text{m} = \text{J}$ oraz $\text{W}\cdot\text{s} = \text{J}$. Oba pola naprawdę dają dżule.

📝 Przykład krok po kroku — zasada zachowania energii

Z jaką prędkością spadnie na ziemię ciało puszczone swobodnie z wysokości $5\ \text{m}$ (bez oporu, $g \approx 10$)?

Zasada zachowania energii: $E_p$ na górze = $E_k$ na dole. $$mgh = \frac{mv^2}{2} ;\Rightarrow; v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10\ \text{m/s}.$$

Zauważ — masa się skróciła! Prędkość spadku nie zależy od masy (znów Galileusz).

⚠️ Uwaga, pułapka

We wzorze $E_k = \tfrac{mv^2}{2}$ prędkość jest w kwadracie — dwa razy szybsze auto ma cztery razy większą energię kinetyczną (i dłuższą drogę hamowania). To częste źródło błędów i wypadków drogowych.

📐 Definicje tej lekcji

• Praca $W = Fs\cos\alpha$ (J); moc $P = W/t$ (W).
• Energia kinetyczna $E_k = mv^2/2$; potencjalna $E_p = mgh$.
• [R] Sprawność $\eta = W_{uż}/W_{wł}$ — udział pracy użytecznej w pracy włożonej.
• [R] Praca siły wypadkowej $W_{\text{wyp}} = \Delta E_k$ — równa zmianie energii kinetycznej.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $W = Fs\cos\alpha$, $P = W/t$; energia: $E_k = mv^2/2$, $E_p = mgh$.
• Bez oporów $E_k + E_p = \text{const}$ (zasada zachowania energii).
• $E_k$ rośnie z kwadratem prędkości.
• [R] Sprawność $\eta = W_{uż}/W_{wł}$; dla realnych maszyn zawsze $< 100%$.
• [R] $W_{\text{wyp}} = \Delta E_k$ — praca siły wypadkowej równa zmianie energii kinetycznej.
• [R] Praca = pole pod wykresem $F(s)$ oraz pole pod wykresem $P(t)$.
• [R] Na równi $Q_\parallel = mg\sin\alpha$, $Q_\perp = mg\cos\alpha$; bez tarcia $a = g\sin\alpha$.

🎒 Zadania

Zadanie 2.13.1. Podnosisz plecak o masie $8\ \text{kg}$ na wysokość $1{,}5\ \text{m}$. Jaką wykonujesz pracę? ($g \approx 10$)

Pokaż rozwiązanie

$W = mgh = 8 \cdot 10 \cdot 1{,}5 = 120\ \text{J}$. (To zarazem przyrost energii potencjalnej plecaka.)

Zadanie 2.13.2. Silnik o mocy $1000\ \text{W}$ pracuje 30 s. Ile pracy wykona?

Pokaż rozwiązanie

$W = P t = 1000 \cdot 30 = 30,000\ \text{J} = 30\ \text{kJ}$.

Zadanie 2.13.3. Ciało o masie 2 kg porusza się $3\ \text{m/s}$. Jaką ma energię kinetyczną? A gdy przyspieszy do $6\ \text{m/s}$?

Pełne rozwiązanie

$E_k = \tfrac{2 \cdot 3^2}{2} = 9\ \text{J}$. Przy $6\ \text{m/s}$: $E_k = \tfrac{2 \cdot 36}{2} = 36\ \text{J}$ — cztery razy więcej (prędkość 2×, energia 4×, bo kwadrat).

Zadanie 2.13.4. [R] Silnik windy zużywa $150\ \text{kJ}$ energii, podnosząc kabinę o masie $600\ \text{kg}$ na wysokość $20\ \text{m}$. Oblicz sprawność ($g \approx 10$).

Pokaż rozwiązanie

$W_{uż} = mgh = 600 \cdot 10 \cdot 20 = 120,000\ \text{J} = 120\ \text{kJ}$; $\eta = \tfrac{120}{150} = 0{,}8 = 80%$. Pozostałe $30\ \text{kJ}$ rozeszło się w tarciu prowadnic i oporze elektrycznym silnika.

Zadanie 2.13.5. [R] Samochód o masie $1000\ \text{kg}$ jadący $20\ \text{m/s}$ zatrzymuje się na drodze $40\ \text{m}$. Korzystając z $W_{\text{wyp}} = \Delta E_k$, oblicz wartość siły hamującej.

Pokaż rozwiązanie

$\Delta E_k = 0 - \tfrac{1000 \cdot 20^2}{2} = -200,000\ \text{J}$. Zatem $F = \tfrac{|W|}{s} = \tfrac{200,000}{40} = 5000\ \text{N} = 5\ \text{kN}$, zwrócona przeciwnie do ruchu. Sprawdzenie kinematyką (§2.3): $a = \tfrac{F}{m} = 5\ \text{m/s}^2$ — dokładnie to opóźnienie, przy którym auto z $20\ \text{m/s}$ hamuje na $40\ \text{m}$. ✓

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Liczyć pracę, moc, energię kinetyczną i potencjalną.
• [ ] Stosować zasadę zachowania energii (np. spadek/zjazd bez tarcia).
• [ ] [R] Posługiwać się sprawnością urządzeń mechanicznych i liczyć ją ze wzoru.
• [ ] [R] Stosować $W_{\text{wyp}} = \Delta E_k$ do obliczeń.
• [ ] [R] Interpretować pole pod $F(s)$ i pod $P(t)$ jako pracę.
• [ ] [R] Rozkładać ciężar na równi i liczyć przyspieszenie zsuwającego się ciała.

---