Hydrostatyka: ciśnienie i prawo Archimedesa

🎯 Po co Ci to?

Dlaczego statek ze stali pływa, a gwóźdź tonie? Czemu uszy bolą na dnie basenu? Hydrostatyka — fizyka cieczy w spoczynku — odpowiada na te pytania i jest klasyczną częścią mechaniki rozszerzonej.

✅ Czego się nauczysz

• posługiwać się ciśnieniem hydrostatycznym i prawem Pascala;
• analizować równowagę cieczy w naczyniach połączonych;
• stosować prawo Archimedesa i wyjaśniać warunki pływania.

📘 Wyjaśnienie

Ciśnienie to siła nacisku na jednostkę powierzchni: $p = \dfrac{F}{S}$ (jednostka: paskal, $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$). W cieczy pojawia się ciśnienie hydrostatyczne — od ciężaru słupa cieczy nad danym punktem:

$$p = \rho g h,$$

gdzie $\rho$ to gęstość cieczy, $h$ — głębokość. Stąd ból uszu na dnie basenu — im głębiej, tym większe ciśnienie.

Naczynia połączone. Skoro ciśnienie zależy tylko od głębokości ($p = \rho g h$), to w naczyniach połączonych ta sama ciecz musi ustalić się na jednakowym poziomie we wszystkich ramionach — niezależnie od tego, jak szerokie i jak dziwnie wygięte są rurki. Gdyby poziomy były różne, na dole panowałyby różne ciśnienia i ciecz płynęłaby dopóty, dopóki by się nie wyrównały.

To zasada działania wodowskazu w czajniku, poziomicy wężowej na budowie i syfonu pod zlewem.

Inaczej jest, gdy w rurce w kształcie litery U stoją dwie różne ciecze, które się nie mieszają (np. woda i olej). Wtedy równe muszą być ciśnienia na wspólnym poziomie styku, a nie wysokości:

$$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2.$$

Słupy ustawiają się więc odwrotnie proporcjonalnie do gęstości — lżejsza ciecz tworzy wyższy słup.

💭 Pomyśl: W rurce U nad wodą ($\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$) stoi słup oleju ($\rho = 800\ \text{kg/m}^3$) o wysokości $10\ \text{cm}$. O ile wyżej niż poziom styku sięga woda w drugim ramieniu?

Sprawdź odpowiedź

$h_{\text{wody}} = \dfrac{\rho_{ol},h_{ol}}{\rho_{w}} = \dfrac{800 \cdot 10}{1000} = 8\ \text{cm}$. Woda stoi niżej o $2\ \text{cm}$, bo jest gęstsza — na ten sam nacisk potrzebuje krótszego słupa. Właśnie tak, porównując wysokości słupów, wyznacza się gęstość nieznanej cieczy.

📐 PRAWO PASCALA: ciśnienie wywierane na zamkniętą ciecz rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach. (To zasada działania podnośników i hamulców hydraulicznych.)

📐 PRAWO ARCHIMEDESA: na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu skierowana w górę, równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało: $F_{wyporu} = \rho_{cieczy}, g, V_{zanurzone}$.

💭 Pomyśl: Stalowy gwóźdź tonie, a stalowy statek pływa. Jak to możliwe, skoro to ten sam materiał?

Sprawdź odpowiedź

Liczy się nie materiał, lecz średnia gęstość ciała i ile cieczy wypiera. Statek jest w środku pusty (powietrze!), więc wypiera ogromną objętość wody — siła wyporu równoważy jego ciężar. Gwóźdź jest lity, wypiera mało wody, więc wypór jest mniejszy od ciężaru → tonie. Ciało pływa, gdy może wyprzeć tyle cieczy, że wypór zrównoważy jego ciężar.

📝 Przykład krok po kroku

Klocek o objętości $0{,}002\ \text{m}^3$ zanurzono całkowicie w wodzie ($\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$, $g \approx 10$). Jaka siła wyporu na niego działa?

$$F_{wyporu} = \rho g V = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}002 = 20\ \text{N}.$$

🎒 Zadania

Zadanie 2.14.1. [R] Jakie jest ciśnienie hydrostatyczne na głębokości $2\ \text{m}$ w wodzie? ($\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$, $g \approx 10$)

Pokaż rozwiązanie

$p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 2 = 20,000\ \text{Pa} = 20\ \text{kPa}$ (do tego dochodzi ciśnienie atmosferyczne nad wodą).

Zadanie 2.14.2. [R] W rurce U nad rtęcią ($\rho = 13,600\ \text{kg/m}^3$) w jednym ramieniu stoi słup wody o wysokości $27{,}2\ \text{cm}$. Jak wysoki jest słup rtęci w drugim ramieniu, licząc od poziomu styku?

Pokaż rozwiązanie

Ciśnienia na poziomie styku są równe: $\rho_w h_w = \rho_{Hg} h_{Hg}$, więc $h_{Hg} = \dfrac{1000 \cdot 27{,}2}{13,600} = 2{,}0\ \text{cm}$. Rtęć jest $13{,}6$ raza gęstsza od wody, więc jej słup jest $13{,}6$ raza niższy — dlatego ciśnienie mierzy się rtęcią, a nie wodą (barometr wodny musiałby mieć ponad $10\ \text{m}$ wysokości).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Liczyć ciśnienie hydrostatyczne i siłę wyporu.
• [ ] Wyjaśnić, dlaczego ta sama ciecz stoi w naczyniach połączonych na jednym poziomie, i policzyć wysokości słupów dwóch różnych cieczy.
• [ ] Wyjaśnić warunek pływania ciał.

---