Energia ruchu obrotowego

🎯 Po co Ci to?

Wirujące koło zamachowe magazynuje energię; tocząca się kula ma jej więcej, niż gdyby tylko sunęła. Ruch obrotowy niesie własną energię kinetyczną — i trzeba ją uwzględnić w bilansie.

✅ Czego się nauczysz

• obliczać energię kinetyczną ruchu obrotowego;
• liczyć całkowitą energię bryły toczącej się (postępowa + obrotowa).

📘 Wyjaśnienie

Znów analogia. Energia kinetyczna ruchu postępowego: $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$. Obrotowego — identyczna w formie, z zamianą $m\to I$, $v\to\omega$:

$$E_{obr} = \frac{1}{2}I,\omega^2.$$

Ciało toczące się (np. kula po stoku) ma obie energie naraz: $$E_{całk} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2.$$

💭 Pomyśl: Z tej samej górki puszczasz (bez poślizgu) obręcz i pełny walec o tej samej masie i promieniu. Który dotrze na dół szybciej?

Sprawdź odpowiedź

Pełny walec. Energia potencjalna ze szczytu zamienia się na ruch postępowy i obrotowy. Obręcz ma większy moment bezwładności, więc więcej energii „idzie" w obrót, a mniej w prędkość postępową — toczy się wolniej. Walec, z mniejszym $I$, więcej energii przeznacza na ruch w dół, więc dociera pierwszy. (Efektowny pokaz: kula wyprzedza obręcz na równi pochyłej, mimo tej samej masy.)

📝 Przykład krok po kroku

Koło zamachowe ($I = 0{,}5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$) wiruje z $\omega = 10\ \text{rad/s}$. Ile energii magazynuje?

$$E_{obr} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}5 \cdot 10^2 = 25\ \text{J}.$$

📝 Przykład krok po kroku — energia bryły toczącej się

Pełny walec o masie $m = 2\ \text{kg}$ i promieniu $r = 0{,}1\ \text{m}$ toczy się bez poślizgu z prędkością $v = 3\ \text{m/s}$. Jaką ma energię całkowitą?

1. Energia postępowa: $E_{post} = \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3^2 = 9\ \text{J}$.

2. Prędkość kątowa. Toczenie bez poślizgu wiąże prędkość środka z prędkością kątową (§2.11): $\omega = \tfrac{v}{r} = \tfrac{3}{0{,}1} = 30\ \text{rad/s}$.

3. Moment bezwładności pełnego walca (§3.3): $I = \tfrac{1}{2}mr^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot (0{,}1)^2 = 0{,}01\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.

4. Energia obrotowa: $E_{obr} = \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}01 \cdot 30^2 = 4{,}5\ \text{J}$.

5. Suma: $E_{całk} = E_{post} + E_{obr} = 9 + 4{,}5 = 13{,}5\ \text{J}$.

Warto zauważyć wynik ogólny: dla pełnego walca $E_{obr} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}mr^2 \cdot \left(\tfrac{v}{r}\right)^2 = \tfrac{1}{4}mv^2$, czyli połowę energii postępowej — niezależnie od $m$, $r$ i $v$. Dla obręczy ($I = mr^2$) wychodzi $E_{obr} = \tfrac{1}{2}mv^2$, czyli tyle samo co postępowa. Stąd wynik wyścigu z górki: obręcz musi „włożyć" w obrót równie dużo energii, ile w jazdę, więc jedzie wolniej.

⚠️ Uwaga, pułapka

Dla ciała toczącego się nie zapomnij o obu członach energii. Liczenie samego $\tfrac{1}{2}mv^2$ zaniża energię (i daje błędne wyniki w zadaniach z zasadą zachowania energii na równi).

📐 Definicje tej lekcji

• Energia kinetyczna ruchu obrotowego $E_{obr} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$.
• Energia bryły toczącej się $E = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $E_{obr} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ (analogia do $\tfrac{1}{2}mv^2$).
• Toczenie = energia postępowa + obrotowa; przy toczeniu bez poślizgu $\omega = v/r$.
• Pełny walec: $E_{obr} = \tfrac{1}{2}E_{post}$; obręcz: $E_{obr} = E_{post}$.
• Większy $I$ → więcej energii „uwięzionej" w obrocie.

🎒 Zadania

Zadanie 3.4.1. Bryła o $I = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ wiruje z $\omega = 3\ \text{rad/s}$. Energia obrotowa?

Pokaż rozwiązanie

$E_{obr} = \tfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 3^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 9 = 18\ \text{J}$.

Zadanie 3.4.2. Obręcz o masie $3\ \text{kg}$ toczy się bez poślizgu z prędkością $v = 2\ \text{m/s}$. Jaka jest jej energia całkowita? (Promień obręczy nie jest podany — czy jest potrzebny?)

Pokaż rozwiązanie

$E_{post} = \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 2^2 = 6\ \text{J}$. Dla obręczy $I = mr^2$, a $\omega = v/r$, więc $E_{obr} = \tfrac{1}{2}mr^2\left(\tfrac{v}{r}\right)^2 = \tfrac{1}{2}mv^2 = 6\ \text{J}$ — promień się skraca i nie jest potrzebny. Razem $E_{całk} = 6 + 6 = 12\ \text{J}$, czyli dwukrotność samej energii postępowej.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Liczyć energię obrotową i całkowitą bryły toczącej się.
• [ ] Wyjaśnić, czemu walec wyprzedza obręcz na równi.

---