Prawa Keplera

🎯 Po co Ci to?

Zanim Newton wyjaśnił dlaczego planety krążą, Johannes Kepler — wpatrując się w dane obserwacyjne

Tychona Brahe — odkrył jak to robią. Trzy prawa Keplera to triumf cierpliwej analizy danych (pamiętasz §1.4 i §1.8) i fundament astronomii.

✅ Czego się nauczysz

• formułować trzy prawa Keplera i interpretować je (także dla księżyców planet);
• wiązać II prawo z zasadą zachowania momentu pędu, wyprowadzać III prawo z prawa powszechnego ciążenia i stosować je do obliczeń.

📘 Wyjaśnienie

📐 I PRAWO KEPLERA: planety krążą po elipsach, w których jednym z ognisk znajduje się Słońce. (Orbita kołowa to szczególny przypadek elipsy.)

📐 II PRAWO KEPLERA (prawo pól): promień wodzący planety (odcinek Słońce–planeta) zakreśla w równych odstępach czasu równe pola. Skutek: planeta porusza się szybciej bliżej Słońca (peryhelium), a wolniej dalej (aphelium).

💭 Pomyśl: Dlaczego planeta przyspiesza, zbliżając się do Słońca? (Podpowiedź: §3.5.)

Sprawdź odpowiedź

To konsekwencja zasady zachowania momentu pędu (§3.5). Grawitacja działa wzdłuż promienia (siła centralna), więc nie zmienia momentu pędu planety: $L = mvr = \text{const}$. Gdy planeta jest bliżej Słońca (małe $r$), prędkość $v$ musi wzrosnąć — i odwrotnie. „Prawo pól" to po prostu zachowanie momentu pędu wyrażone geometrycznie.

📐 III PRAWO KEPLERA: kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu wielkiej półosi orbity: $\dfrac{T^2}{a^3} = \text{const}$ (ta sama stała dla wszystkich ciał krążących wokół tego samego centrum).

III prawo wynika z prawa powszechnego ciążenia (§4.1) — nie jest osobnym prawem przyrody. Dla orbity kołowej widać to w trzech linijkach. Grawitacja pełni rolę siły dośrodkowej (§4.2), a prędkość na orbicie to $v = \dfrac{2\pi r}{T}$ (jeden obieg w czasie $T$):

$$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} ;\Rightarrow; \frac{GM}{r} = v^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} ;\Rightarrow; \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}.$$

Prawa strona nie zawiera niczego, co dotyczy krążącego ciała — ani jego masy, ani promienia orbity. Stąd „ta sama stała dla wszystkich": Kepler odczytał ją z danych Brahego, Newton pokazał, skąd się bierze. Odwrotnie czytany, ten sam wzór pozwala wyznaczyć masę centrum: $M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G,T^2}$.

A księżyce? Te same trzy prawa rządzą ruchem księżyców wokół planet — bo siłą centralną jest tam grawitacja planety. Księżyc krąży po elipsie z planetą w ognisku, porusza się szybciej w punkcie najbliższym planety (II prawo, czyli zachowanie momentu pędu) i spełnia $T^2/a^3 = \text{const}$. Zmienia się tylko wartość tej stałej: zależy ona od masy centrum, więc dla księżyców Jowisza jest inna niż dla planet krążących wokół Słońca. Dlatego z obserwacji księżyców galileuszowych wyznacza się masę Jowisza — dokładnie tym samym wzorem $M = 4\pi^2 r^3/(G,T^2)$.

📝 Przykład krok po kroku

Planeta A ma okres 1 rok i wielką półoś 1 j.a. Planeta B krąży w odległości 4 j.a. Jaki ma okres?

$\dfrac{T^2}{a^3} = \text{const}$, więc $\dfrac{T_B^2}{4^3} = \dfrac{1^2}{1^3} \Rightarrow T_B^2 = 64 \Rightarrow T_B = 8$ lat. Cztery razy dalej → osiem razy dłuższy rok.

⚠️ Uwaga, pułapka

W III prawie występuje wielka półoś elipsy (średnia „promień"), a nie odległość chwilowa. Dla orbity kołowej półoś = promień, więc upraszcza się do $T^2/r^3 = \text{const}$.

📐 Definicje tej lekcji

• I prawo Keplera — orbity to elipsy z gwiazdą w ognisku.
• II prawo Keplera — prawo pól (konsekwencja zachowania momentu pędu).
• III prawo Keplera — $T^2/a^3 = \text{const}$; dla orbity kołowej $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Planety krążą po elipsach (Słońce w ognisku); szybciej bliżej, wolniej dalej.
• II prawo = zachowanie momentu pędu; III prawo: $T^2/a^3 = \text{const}$.
• III prawo to wniosek z prawa ciążenia: $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — stała zależy tylko od masy centrum.
• Te same prawa opisują księżyce krążące wokół planet (inna stała, bo inne centrum).

🎒 Zadania

Zadanie 4.3.1. [R] Okres obiegu pewnej planety wokół Słońca wynosi 27 lat. Jaka jest wielka półoś jej orbity (w j.a.)?

Pokaż rozwiązanie

$T^2 = a^3$ (w jednostkach lat i j.a., bo dla Ziemi obie =1). $27^2 = 729 = a^3 \Rightarrow a = \sqrt[3]{729} = 9$ j.a.

Zadanie 4.3.2. [R] Dwa księżyce krążą wokół tej samej planety po orbitach kołowych. Pierwszy ma promień orbity $r$ i okres 2 doby. Jaki okres ma drugi, krążący w odległości $4r$?

Pokaż rozwiązanie

III prawo dotyczy każdego układu z jednym centrum, więc dla obu księżyców $T^2/r^3$ jest takie samo: $\left(\tfrac{T_2}{T_1}\right)^2 = 4^3 = 64 \Rightarrow \tfrac{T_2}{T_1} = 8$, czyli $T_2 = 8 \cdot 2 = 16$ dób. Masa planety w ogóle nie była potrzebna — skróciła się w stosunku.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Sformułować trzy prawa Keplera.
• [ ] Powiązać II prawo z zachowaniem momentu pędu i stosować III prawo do obliczeń.
• [ ] Wyprowadzić III prawo z prawa powszechnego ciążenia i zastosować je do księżyców planet.

---