Opis ruchu drgającego
🎯 Po co Ci to?
Każde drganie da się opisać kilkoma liczbami: jak daleko, jak często, w którym momencie cyklu. To język, którym mówią zegary, głośniki i sejsmografy.
✅ Czego się nauczysz
- posługiwać się wychyleniem, amplitudą i okresem;
- [rozszerzenie] opisywać ruch harmoniczny (częstość kołowa, faza), podawać jego przykłady, analizować i odczytywać z wykresów zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu oraz rozróżniać drgania o fazach zgodnych i przeciwnych.
📘 Wyjaśnienie
📐 DEFINICJE — wielkości opisujące drgania: Wychylenie $x$ — odległość ciała od położenia równowagi w danej chwili (ze znakiem). Amplituda $A$ — maksymalne wychylenie. Okres $T$ — czas jednego pełnego drgania; częstotliwość $f = 1/T$ (Hz) — liczba drgań na sekundę (jak w ruchu po okręgu, §2.5).
💭 Pomyśl: Wahadło odchylasz mocniej (większa amplituda). Czy będzie wahać się dłużej w jednym przejściu (większy okres)?
Sprawdź odpowiedź
Dla małych wychyleń — nie! Okres wahadła praktycznie nie zależy od amplitudy (musi tylko przebyć dłuższą drogę, ale za to porusza się szybciej — efekty się znoszą). To słynna własność zwana izochronizmem, którą odkrył Galileusz — podobno obserwując kołyszący się żyrandol w katedrze (anegdotę spisał jego biograf dopiero kilkadziesiąt lat później, więc historycy traktują ją z rezerwą). Dlatego wahadło nadaje się na zegar. (Dla dużych wychyleń przestaje to być dokładne — granica modelu.)
[rozszerzenie] Ruch harmoniczny
Gdy siłą zwracającą jest siła sprężysta ($F = -kx$), drgania mają szczególnie „czysty" przebieg — to ruch harmoniczny. Wychylenie zmienia się w czasie sinusoidalnie:
$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi),$$
gdzie:
- $A$ — amplituda,
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ — częstość kołowa (rad/s),
- $\varphi$ — faza początkowa (mówi, w którym momencie cyklu ciało było na starcie).
Prędkość i przyspieszenie też zmieniają się sinusoidalnie, ale są przesunięte w fazie względem wychylenia:
$$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi), \qquad a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi).$$
Amplitudy odczytujemy wprost z tych wzorów: prędkość waha się w granicach $\pm A\omega$, a przyspieszenie w granicach $\pm A\omega^2$. Porównanie wzoru na $a(t)$ ze wzorem na $x(t)$ daje kluczowy związek — przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do wychylenia i skierowane przeciwnie:
$$a = -\omega^2 x.$$
To „podpis" ruchu harmonicznego — wynika wprost z $F = -kx$ i II zasady dynamiki ($a = F/m$).
Gdzie spotkasz ruch harmoniczny? Dokładnie albo w bardzo dobrym przybliżeniu drgają tak: ciężarek na sprężynie, wahadło matematyczne przy małych wychyleniach, wahadło zegara, drgająca struna gitary, ciężarek na sprężystej listwie, a w skali mikroskopowej — atomy drgające wokół położeń równowagi w krysztale. Wspólny mianownik jest zawsze ten sam: siła zwracająca proporcjonalna do wychylenia i skierowana ku położeniu równowagi.
Jak czytać trzy wykresy. Wszystkie trzy zależności to sinusoidy o tym samym okresie $T$, poprzesuwane względem siebie o ćwierć okresu. Dla najprostszego przypadku ($\varphi = 0$, czyli start ze skrajnego wychylenia) odczyt wygląda tak:
| chwila | wychylenie $x$ | prędkość $v$ | przyspieszenie $a$ |
|---|---|---|---|
| $t = 0$ | $+A$ | $0$ | $-A\omega^2$ |
| $t = T/4$ | $0$ | $-A\omega$ | $0$ |
| $t = T/2$ | $-A$ | $0$ | $+A\omega^2$ |
| $t = 3T/4$ | $0$ | $+A\omega$ | $0$ |
| $t = T$ | $+A$ | $0$ | $-A\omega^2$ |
Reguła odczytu jest prosta: tam, gdzie wykres $x(t)$ ma wierzchołek, wykres $v(t)$ przecina zero (i odwrotnie), a wykres $a(t)$ jest lustrzanym odbiciem $x(t)$ względem osi czasu.
💭 Pomyśl: W którym punkcie drgań ciało ma największą prędkość, a w którym największe przyspieszenie?
Sprawdź odpowiedź
Największa prędkość — w położeniu równowagi ($x=0$): tam ciało „przelatuje" najszybciej, a siła zwracająca chwilowo znika. Największe przyspieszenie — w skrajnym wychyleniu ($x = \pm A$): tam siła sprężysta (a więc i $a = -\omega^2 x$) jest największa, choć prędkość spada do zera.
Prędkość i przyspieszenie są więc przesunięte względem siebie o ćwierć okresu ($90^\circ$, kwadratura): gdy jedno osiąga wartość skrajną, drugie właśnie przechodzi przez zero. W przeciwfazie ($180^\circ$, czyli pół okresu) są natomiast wychylenie i przyspieszenie — mówi to wprost wzór $a = -\omega^2 x$: znak minus oznacza, że są zawsze przeciwnie skierowane, więc maksimum jednego wypada dokładnie tam, gdzie minimum drugiego.
[rozszerzenie] Drgania w fazie i w przeciwfazie
Gdy porównujemy dwa drgania o tej samej częstości, o wszystkim decyduje różnica ich faz $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$:
- $\Delta\varphi = 0$ — drgania zgodne w fazie: oba ciała jednocześnie mijają położenie równowagi i jednocześnie osiągają skrajne wychylenia po tej samej stronie;
- $\Delta\varphi = \pi$ ($180^\circ$) — drgania w przeciwfazie: gdy jedno ciało jest maksymalnie wychylone w prawo, drugie jest maksymalnie wychylone w lewo;
- wartości pośrednie (np. $\pi/2$) to drgania przesunięte w fazie — jedno „spóźnia się" za drugim o ułamek okresu równy $\dfrac{\Delta\varphi}{2\pi},T$.
Przykład na żywo: dwa identyczne wahadła puszczone jednocześnie z tej samej strony drgają w fazie; puszczone z przeciwnych stron — w przeciwfazie. Do tego rozróżnienia wrócimy przy falach (Dział 10), bo od niego zależy, czy spotykające się fale się wzmocnią, czy wygaszą.
📐 Definicje tej lekcji
- Wychylenie / amplituda / okres / częstotliwość — jak w bloku DEFINICJE.
- [R] Ruch harmoniczny $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$; częstość kołowa $\omega=2\pi/T$; faza; związek $a = -\omega^2 x$.
- [R] Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym $v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$, $a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)$; amplitudy $A\omega$ i $A\omega^2$.
- [R] Drgania zgodne w fazie / w przeciwfazie — różnica faz $\Delta\varphi$ równa $0$ / $\pi$.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Drgania opisują: wychylenie, amplituda, okres, częstotliwość.
- Okres małych drgań nie zależy od amplitudy (izochronizm).
- [R] Ruch harmoniczny: $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$, $a=-\omega^2 x$; max prędkość w równowadze, max przyspieszenie w skrajnym wychyleniu.
- [R] $v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$, $a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)$; $v$ i $a$ przesunięte o ćwierć okresu, a $x$ i $a$ — o pół okresu (przeciwfaza).
- [R] Dwa drgania: $\Delta\varphi=0$ → zgodne w fazie; $\Delta\varphi=\pi$ → w przeciwfazie.
🎒 Zadania
Zadanie 5.2.1. Wahadło wykonuje 30 pełnych drgań w ciągu minuty. Jaki ma okres i częstotliwość?
Pokaż rozwiązanie
$T = \tfrac{60\ \text{s}}{30} = 2\ \text{s}$; $f = \tfrac{1}{T} = 0{,}5\ \text{Hz}$.
Zadanie 5.2.2. [R] Ciało drga harmonicznie z okresem $T = 0{,}5\ \text{s}$. Jaka jest jego częstość kołowa?
Pokaż rozwiązanie
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi \approx 12{,}6\ \text{rad/s}$.
Zadanie 5.2.3. [R] Ciało drga harmonicznie z amplitudą $A = 0{,}02\ \text{m}$ i częstością kołową $\omega = 50\ \text{rad/s}$. Jaka jest jego największa prędkość i największe przyspieszenie? W których punktach toru one występują?
Pokaż rozwiązanie
$v_{max} = A\omega = 0{,}02 \cdot 50 = 1\ \text{m/s}$ — w położeniu równowagi ($x = 0$). $a_{max} = A\omega^2 = 0{,}02 \cdot 50^2 = 0{,}02 \cdot 2500 = 50\ \text{m/s}^2$ — w skrajnych wychyleniach ($x = \pm A$). Jednostki: $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ i $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ (radian jest bezwymiarowy) — zgadza się.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Posługiwać się amplitudą, okresem i częstotliwością.
- [ ] [R] Opisać ruch harmoniczny, podać jego przykłady i wskazać, gdzie prędkość/przyspieszenie są największe.
- [ ] [R] Zapisać $v(t)$ i $a(t)$ oraz odczytać ich wartości z wykresów w charakterystycznych chwilach.
- [ ] [R] Rozróżnić drgania o fazach zgodnych i przeciwnych.