Okres wahadła i ciężarka na sprężynie

🎯 Po co Ci to?

Co decyduje o rytmie zegara wahadłowego? Od czego zależy, jak szybko drga ciężarek na sprężynie?

Dwa proste wzory dają odpowiedź — i kryją w sobie zaskakujące fakty (np. że masa wahadła nie ma znaczenia).

✅ Czego się nauczysz

• stosować wzory na okres wahadła matematycznego i ciężarka na sprężynie;
• rozumieć założenia tych modeli.

📘 Wyjaśnienie

📐 OKRES DRGAŃ: Wahadło matematyczne: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ — zależy od długości $l$ i przyspieszenia $g$. Ciężarek na sprężynie: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ — zależy od masy $m$ i sztywności $k$.

💭 Pomyśl: Dwa wahadła o tej samej długości, ale jedno z ciężarkiem 1 kg, drugie 4 kg. Które waha się szybciej?

Sprawdź odpowiedź

Oba tak samo! We wzorze $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ nie ma masy. Okres wahadła zależy tylko od jego długości i od $g$ — nie od masy ciężarka. To kolejny przejaw niezależności efektów grawitacyjnych od masy (jak spadek swobodny, §4.1). Dlatego wahadłem można wyznaczać $g$. Uwaga: dla sprężyny jest inaczej — tam masa ma znaczenie ($T = 2\pi\sqrt{m/k}$).

Założenia modeli (granice stosowalności, §1.7): wahadło matematyczne to punkt materialny na nieważkiej, nierozciągliwej nici; wzór działa dla małych wychyleń. Dla sprężyny — masa sprężyny pomijalna wobec ciężarka, prawo Hooke'a spełnione.

📝 Przykład krok po kroku

Jaki okres ma wahadło o długości $1\ \text{m}$? ($g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$, $\pi\approx 3{,}14$)

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{1}{9{,}8}} \approx 6{,}28 \cdot 0{,}32 \approx 2{,}0\ \text{s}.$$

Wahadło metrowe „tyka" co ~1 s w jedną stronę (pełne drganie ~2 s) — stąd klasyczne zegary wahadłowe.

⚠️ Uwaga, pułapka

W okresie sprężyny jest masa, a w okresie wahadła długość (nie masa). Mylenie tych zależności to częsty błąd. Pamiętaj: wahadło — masa nieistotna; sprężyna — masa istotna.

🎒 Zadania

Zadanie 5.3.1. [R] Ciężarek $0{,}5\ \text{kg}$ na sprężynie o $k = 200\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}$. Jaki okres drgań? ($\pi\approx 3{,}14$)

Pokaż rozwiązanie

$T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}} = 6{,}28\sqrt{\tfrac{0{,}5}{200}} = 6{,}28\sqrt{0{,}0025} = 6{,}28 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}31\ \text{s}$.

Zadanie 5.3.2. [R] Jak zmieni się okres wahadła, jeśli jego długość zwiększymy czterokrotnie?

Pokaż rozwiązanie

$T \sim \sqrt{l}$, więc czterokrotny wzrost długości → $\sqrt{4} = 2$ razy dłuższy okres.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Stosować wzory na okres wahadła i sprężyny i znać ich założenia.
• [ ] Wyjaśnić, czemu okres wahadła nie zależy od masy.

---