Doświadczenia z drganiami
🎯 Po co Ci to?
Drgania świetnie nadają się do samodzielnego badania — wahadło i sprężyna są w każdym domu. Podstawa programowa wymaga kilku takich doświadczeń.
✅ Czego się nauczysz
- przeprowadzić i opisać doświadczenia z wahadłem, sprężyną i rezonansem.
📘 Wyjaśnienie — obowiązkowe doświadczenia
Doświadczenie A — zależność okresu od masy (sprężyna). Wieszaj na sprężynie różne masy i mierz okres drgań (najlepiej czas 10–20 drgań, podziel — §1.5). Zobaczysz, że cięższy ciężarek drga wolniej (większy okres).
Doświadczenie B — rezonans. Zbuduj kilka wahadeł o różnych długościach zawieszonych na wspólnej nitce. Wprawiając w ruch jedno, zaobserwuj, że najmocniej rozkołysze się to o tej samej długości (częstotliwości własnej) — przekazywanie energii przez rezonans.
Doświadczenie C [rozszerzenie] — niezależność okresu od amplitudy. Dla małych wychyleń zmierz okres wahadła przy różnych (niewielkich) amplitudach — okaże się prawie stały (izochronizm, §5.2).
Doświadczenie D [rozszerzenie] — zależność okresu od długości. Mierz okres wahadła dla różnych długości $l$ i sprawdź zależność $T \sim \sqrt{l}$ (np. wykres $T^2$ od $l$ daje prostą — §1.4).
Doświadczenie E [rozszerzenie] — wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego. Z pomiaru okresu wahadła o znanej długości wylicz $g$ ze wzoru $T = 2\pi\sqrt{l/g}$, czyli $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$. To jedyne wymaganie doświadczalne w podstawie typu „wyznacza" — i piękny dowód, że $g$ nie zależy od masy.
Doświadczenie F [rozszerzenie] — zależność okresu od współczynnika sprężystości sprężyny. To druga połowa Doświadczenia A: tam zmieniałeś masę, tu zmieniasz sztywność. Weź kilka sprężyn o różnym $k$ (albo prościej: tę samą sprężynę pojedynczo, a potem dwie identyczne zawieszone równolegle, obok siebie — razem dają sztywność $2k$) i za każdym razem powieś tę samą masę. Zmierz okres (znów czas 10–20 drgań i podziel). Sztywniejsza sprężyna daje krótszy okres — zgodnie z $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ (§5.3). Sprawdzenie ilościowe: wykres $T^2$ w funkcji $\tfrac{1}{k}$ powinien dać linię prostą przechodzącą przez początek układu (§1.4). Samo $k$ każdej sprężyny wyznacz wcześniej z prawa Hooke'a (§5.1): powieś znany ciężarek i zmierz wydłużenie.
📐 Jak opisać doświadczenie (przypomnienie z §1.5)
Cel/hipoteza → co mierzysz i czym → co zmieniasz, co stałe → pomiary (wielokrotne) → analiza i wniosek. Mierz czas wielu drgań i dziel — to zmniejsza niepewność (§1.6).
🎒 Zadania
Zadanie 5.6.1. [R] Wahadło o długości $0{,}99\ \text{m}$ ma okres $2{,}0\ \text{s}$. Wyznacz $g$. ($\pi^2 \approx 9{,}87$)
Pokaż rozwiązanie
$g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2} = \dfrac{4\cdot 9{,}87 \cdot 0{,}99}{2{,}0^2} = \dfrac{39{,}1}{4} \approx 9{,}8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. ✓
Zadanie 5.6.2. W doświadczeniu A, by zmniejszyć niepewność pomiaru okresu, co zrobisz zamiast mierzyć czas jednego drgania?
Pokaż rozwiązanie
Zmierzysz czas np. 20 drgań i podzielisz przez 20 — niepewność czasu reakcji rozkłada się na wiele okresów (§1.5, §1.6).
Zadanie 5.6.3. [R] W Doświadczeniu F ciężarek na jednej sprężynie ma okres $0{,}40\ \text{s}$. Jaki okres będzie miał ten sam ciężarek zawieszony na dwóch identycznych sprężynach obok siebie (równolegle)?
Pokaż rozwiązanie
Dwie identyczne sprężyny równolegle dają sztywność $2k$, a $T = 2\pi\sqrt{m/k} \sim \tfrac{1}{\sqrt{k}}$. Okres zmaleje więc $\sqrt{2}$ razy: $T' = \tfrac{0{,}40}{\sqrt{2}} \approx 0{,}28\ \text{s}$.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Zaplanować badanie zależności okresu od masy i zademonstrować rezonans.
- [ ] [R] Wyznaczyć $g$ za pomocą wahadła i zbadać zależność $T(l)$.
- [ ] [R] Zbadać zależność okresu drgań ciężarka od współczynnika sprężystości sprężyny.