Przemiany gazowe i równanie stanu gazu

🎯 Po co Ci to?

Sprężarka, silnik, opona w upale — wszędzie gaz zmienia ciśnienie, objętość i temperaturę. Rządzi tym jedno eleganckie równanie i cztery podstawowe przemiany.

Cztery elementarne przemiany gazu doskonałego, każda na osobnym wykresie p-V: izobaryczna (p = const.), izochoryczna (V = const.), adiabatyczna (pV^γ = const.) i izotermiczna (pV = const.). · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

✅ Czego się nauczysz

stosować równanie stanu gazu doskonałego;
rozróżniać przemiany: izotermiczną, izobaryczną, izochoryczną i adiabatyczną; stosować do nich I zasadę także w rachunkach, oraz analizować wykresy przemian;
posługiwać się ciepłem molowym gazu i interpretować związek między $C_p$ a $C_V$.

📘 Wyjaśnienie

📐 RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO (Clapeyrona): $$pV = nRT,$$ gdzie $p$ — ciśnienie, $V$ — objętość, $n$ — liczba moli, $T$ — temperatura (K), $R = 8{,}31\ \tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$ (stała gazowa). Dla ustalonej ilości gazu: $\dfrac{pV}{T} = \text{const}$.

Prawo Boyle'a-Mariotte'a: przy stałej temperaturze ciśnienie gazu jest odwrotnie proporcjonalne do objętości (p ~ 1/V). · źródło: opracowanie własne AsLekcyjny

Cztery podstawowe przemiany (każda „zamraża" jedną wielkość):

Przemiana	Stałe	Zależność	I zasada
izotermiczna	$T$	$pV = \text{const}$	$\Delta U = 0$, więc $Q = -W$
izobaryczna	$p$	$V/T = \text{const}$	część ciepła idzie na pracę i na $\Delta U$
izochoryczna	$V$	$p/T = \text{const}$	$W = 0$, więc $\Delta U = Q$
adiabatyczna	brak wymiany ciepła	—	$Q = 0$, więc $\Delta U = W$

💭 Pomyśl: Szybko sprężasz powietrze w pompce (tak szybko, że ciepło nie zdąży uciec). Co dzieje się z temperaturą gazu i dlaczego?

Sprawdź odpowiedź

Temperatura rośnie (pompka się grzeje). To przemiana zbliżona do adiabatycznej ($Q \approx 0$): wykonujesz pracę nad gazem, a skoro ciepło nie ucieka, cała ta praca idzie na wzrost energii wewnętrznej ($\Delta U = W$), czyli wzrost temperatury. Ten sam efekt rozgrzewa powietrze w silniku Diesla na tyle, by zapaliło paliwo bez świecy.

Ciepło molowe gazu i relacja Mayera

Ile ciepła trzeba, żeby ogrzać gaz o $1\ \text{K}$? Okazuje się, że odpowiedź zależy od tego, jak go ogrzewamy — i to jest jedna z najciekawszych konsekwencji I zasady termodynamiki (§6.2).

📐 DEFINICJA — ciepło molowe: ilość ciepła potrzebna do ogrzania jednego mola gazu o $1\ \text{K}$. Ciepło liczymy wtedy ze wzoru $Q = n,C,\Delta T$, gdzie $n$ to liczba moli. Jednostka: $\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. To „molowy krewny" ciepła właściwego $c$ z §6.3 — tam liczyliśmy na kilogram, tu na mol.

Gaz ma dwa ciepła molowe, bo ma dwa naturalne sposoby ogrzewania:

$C_V$ — w stałej objętości (gaz w sztywnym zbiorniku). Gaz nie może się rozprężyć, więc nie wykonuje pracy: całe dostarczone ciepło idzie na energię wewnętrzną, $Q = \Delta U = n,C_V,\Delta T$;
$C_p$ — przy stałym ciśnieniu (gaz pod ruchomym tłokiem). Ogrzewany gaz się rozpręża i wykonuje pracę unosząc tłok, więc oprócz podniesienia energii wewnętrznej trzeba dostarczyć jeszcze energii na tę pracę: $Q = \Delta U + W$. ⚠️ Uwaga na znak: w tym wyprowadzeniu $W$ oznacza pracę wykonaną przez gaz (dodatnią przy rozprężaniu), a nie — jak w I zasadzie z §6.2 i w tabeli przemian wyżej — pracę wykonaną nad gazem. Obie wielkości są sobie przeciwne, więc w konwencji z §6.2 (tej z karty wzorów CKE) ten sam bilans zapisujemy $Q = \Delta U - W$. Zanim podstawisz liczby, zawsze ustal, którą konwencję przyjmujesz.

Stąd wniosek jakościowy, który trzeba umieć uzasadnić: $C_p > C_V$ — przy stałym ciśnieniu na ten sam przyrost temperatury potrzeba więcej ciepła niż w stałej objętości, bo część tego ciepła „ucieka" w pracę rozprężania, zamiast podnosić temperaturę.

O ile więcej? Dla gazu doskonałego praca przy stałym ciśnieniu to $W = p,\Delta V$, a z równania Clapeyrona przy stałym $p$ mamy $p,\Delta V = n,R,\Delta T$. Podstawiamy do $Q = \Delta U + W$:

$$n,C_p,\Delta T = n,C_V,\Delta T + n,R,\Delta T ;\Rightarrow; C_p - C_V = R.$$

To relacja Mayera. Różnica ciepeł molowych gazu doskonałego jest zawsze równa stałej gazowej $R = 8{,}31\ \tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$ — tej samej, która stoi w równaniu Clapeyrona. (Uwaga na oznaczenie: w tym dziale $R$ to stała gazowa, a nie promień czy opór.)

📝 Przykład [R]. Dla helu (gaz jednoatomowy) $C_V = \tfrac{3}{2}R \approx 12{,}5\ \tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Ile ciepła trzeba dostarczyć 2 molom helu, by ogrzać go o $\Delta T = 100\ \text{K}$ (a) w sztywnym zbiorniku, (b) pod ruchomym tłokiem przy stałym ciśnieniu?

(a) Stała objętość. $Q_V = n,C_V,\Delta T = 2 \cdot 12{,}5 \cdot 100 = 2500\ \text{J}$. Cała ta energia poszła na wzrost energii wewnętrznej ($W = 0$, więc $\Delta U = Q$).

(b) Stałe ciśnienie. Najpierw relacja Mayera: $C_p = C_V + R = 12{,}5 + 8{,}31 = 20{,}81\ \tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Stąd $Q_p = n,C_p,\Delta T = 2 \cdot 20{,}81 \cdot 100 = 4162\ \text{J} \approx 4{,}2\ \text{kJ}$.

Sprawdzenie. Nadwyżka wynosi $Q_p - Q_V = 4162 - 2500 = 1662\ \text{J}$ i musi być równa pracy wykonanej przez gaz: $W = n,R,\Delta T = 2 \cdot 8{,}31 \cdot 100 = 1662\ \text{J}$ — zgadza się. Jednostki: $\text{mol} \cdot \tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot \text{K} = \text{J}$.

Zwróć uwagę: przyrost energii wewnętrznej jest w obu przypadkach taki sam ($2500\ \text{J}$), bo energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury (§6.5), a temperatura wzrosła tak samo. Różni się tylko to, ile trzeba było dostarczyć.

📝 Przykład krok po kroku

Gaz w zamkniętym naczyniu ($V = \text{const}$) ma w $300\ \text{K}$ ciśnienie $100\ \text{kPa}$. Jakie ciśnienie będzie miał w $450\ \text{K}$?

Przemiana izochoryczna: $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2} \Rightarrow p_2 = p_1\dfrac{T_2}{T_1} = 100 \cdot \dfrac{450}{300} = 150\ \text{kPa}$.

⚠️ Uwaga, pułapka

W równaniu Clapeyrona temperatura jest zawsze w kelwinach. Wstawienie stopni Celsjusza daje błędne (czasem absurdalne) wyniki. Zamień: $T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273$.

📐 Definicje tej lekcji

Równanie stanu gazu $pV = nRT$; dla stałej ilości $pV/T = \text{const}$.
Przemiany: izotermiczna, izobaryczna, izochoryczna, adiabatyczna.
Ciepło molowe $Q = nC\Delta T$ — ciepło na 1 mol i 1 K; $C_V$ (stała objętość), $C_p$ (stałe ciśnienie).
Relacja Mayera $C_p - C_V = R$ dla gazu doskonałego ($R$ — stała gazowa).

📌 Najważniejsze w pigułce

$pV = nRT$ wiąże ciśnienie, objętość i temperaturę (w K).
Cztery przemiany: stałe $T$ / $p$ / $V$ / brak wymiany ciepła.
I zasada w każdej przemianie wygląda inaczej (np. izochoryczna: $\Delta U = Q$).
Ciepło molowe: $Q = nC\Delta T$; zawsze $C_p > C_V$, bo przy stałym $p$ część ciepła idzie na pracę.
Relacja Mayera: $C_p - C_V = R$.

🎒 Zadania

Zadanie 6.6.1. [R] Gaz pod stałym ciśnieniem ma w $300\ \text{K}$ objętość $2\ \text{l}$. Jaką objętość zajmie w $600\ \text{K}$?

Pokaż rozwiązanie

Izobaryczna: $\tfrac{V_1}{T_1} = \tfrac{V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = 2 \cdot \tfrac{600}{300} = 4\ \text{l}$.

Zadanie 6.6.2. [R] Gazowi doskonałemu dostarczono $800\ \text{J}$ ciepła. Ile wyniósł przyrost energii wewnętrznej, a ile praca wykonana przez gaz, jeśli przemiana była (a) izochoryczna, (b) izotermiczna?

Pokaż rozwiązanie

(a) Izochoryczna ($V = \text{const}$): gaz nie zmienia objętości, więc nie wykonuje pracy, $W = 0$. Z I zasady całe ciepło idzie na energię wewnętrzną: $\Delta U = Q = 800\ \text{J}$.

(b) Izotermiczna ($T = \text{const}$): energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury (§6.5), więc $\Delta U = 0$. Z I zasady całe pobrane ciepło zamienia się w pracę gazu: $W = 800\ \text{J}$. Gaz rozprężył się, popychając tłok.

Zadanie 6.6.3. [R] Rycina na początku tej jednostki pokazuje cztery elementarne przemiany gazu doskonałego, każdą na osobnym wykresie $p$–$V$. Rozpoznaj przemianę po kształcie krzywej: (a) odcinek poziomy, opisany $p = \text{const}$; (b) odcinek pionowy, $V = \text{const}$; (c) hiperbola $pV = \text{const}$; (d) krzywa opadająca stromiej niż hiperbola, $pV^{\gamma} = \text{const}$. Nazwij każdą przemianę i powiedz, co dzieje się w niej z temperaturą.

Pokaż rozwiązanie

(a) Izobaryczna ($p = \text{const}$). Z $\tfrac{V}{T} = \text{const}$: gdy gaz się rozpręża, temperatura rośnie; przy sprężaniu — maleje.

(b) Izochoryczna ($V = \text{const}$). Objętość się nie zmienia, więc o kierunku decyduje ciśnienie: z $\tfrac{p}{T} = \text{const}$ wzrost ciśnienia oznacza wzrost temperatury.

(c) Izotermiczna — hiperbola $pV = \text{const}$ to dokładnie zapis stałej temperatury (z $pV = nRT$). Temperatura się nie zmienia, choć zmieniają się i $p$, i $V$.

(d) Adiabatyczna — $\gamma > 1$, więc krzywa opada stromiej niż izoterma. Gaz nie wymienia ciepła ($Q = 0$), więc rozprężając się wykonuje pracę kosztem własnej energii wewnętrznej i temperatura maleje (przy sprężaniu odwrotnie — stąd gorąca pompka z „Pomyśl" wyżej).

Reguła praktyczna do odczytu wykresu: izobara pozioma, izochora pionowa, izoterma to hiperbola, adiabata opada stromiej od izotermy.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

[ ] Stosować równanie Clapeyrona (z temperaturą w kelwinach).
[ ] Rozróżnić cztery przemiany, zastosować do nich I zasadę i policzyć $Q$, $W$ oraz $\Delta U$.
[ ] Odczytać typ przemiany z wykresu $p$–$V$.
[ ] Posługiwać się ciepłem molowym i uzasadnić, dlaczego $C_p - C_V = R$.

Ucz się tej jednostki z asystentem