Potencjał, napięcie i energia w polu

🎯 Po co Ci to?

„Napięcie" to słowo z każdej baterii i gniazdka. Ale co ono właściwie znaczy? Tu poznasz je ściśle — przez pracę i energię ładunku w polu elektrycznym.

✅ Czego się nauczysz

• wiązać pracę sił pola z energią potencjalną; posługiwać się potencjałem i napięciem.

📘 Wyjaśnienie

Przesuwając ładunek w polu, siły pola wykonują pracę — kosztem (lub na rzecz) energii potencjalnej ładunku. To dokładnie jak podnoszenie ciała w polu grawitacyjnym (§2.13), tylko „w polu elektrycznym".

📐 DEFINICJA — napięcie (różnica potencjałów): praca, jaką siły pola wykonują przy przeniesieniu jednostkowego ładunku między dwoma punktami: $U = \dfrac{W}{q}$ (jednostka: wolt, $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$).

W polu jednorodnym napięcie i natężenie wiąże prosty wzór:

$$U = E,d,$$

gdzie $d$ to odległość wzdłuż pola. Stąd jednostka natężenia $\tfrac{\text{V}}{\text{m}}$.

Zmiana energii ładunku. Przenosząc ładunek $q$ między punktami, między którymi panuje napięcie $U$, siły pola wykonują pracę $W = qU$, a energia potencjalna ładunku zmienia się o $\Delta E_p = -W$. W polu jednorodnym daje to $W = qEd$. W polu centralnym ładunku punktowego $Q$ energia potencjalna ładunku $q$ odległego o $r$ wynosi $E_p = k\dfrac{Qq}{r}$ (zero energii przyjmujemy w nieskończoności), więc przy przesunięciu z $r_1$ do $r_2$ siły pola wykonują pracę

$$W = E_{p1} - E_{p2} = kQq\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).$$

📝 Przykład. Dodatni ładunek $q = +2\ \text{nC}$ oddala się od nieruchomego $Q = +1\ \mu\text{C}$ z $r_1 = 0{,}1\ \text{m}$ do $r_2 = 0{,}2\ \text{m}$. Jaką pracę wykonują siły pola?

Najpierw iloczyn: $kQq = 9\cdot10^9 \cdot 1\cdot10^{-6} \cdot 2\cdot10^{-9} = 1{,}8\cdot10^{-5}\ \text{J}\cdot\text{m}$. Dalej $\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2} = 10 - 5 = 5\ \tfrac{1}{\text{m}}$, więc $W = 1{,}8\cdot10^{-5} \cdot 5 = 9\cdot10^{-5}\ \text{J}$. Sprawdzenie energiami: $E_{p1} = 1{,}8\cdot10^{-4}\ \text{J}$, $E_{p2} = 9\cdot10^{-5}\ \text{J}$ — energia potencjalna zmalała dokładnie o wykonaną pracę (ładunki jednoimienne, więc pole „odpycha" i pracuje dodatnio).

💭 Pomyśl: Czemu ptak siedzący na jednym przewodzie wysokiego napięcia nie ginie, a człowiek dotykający przewodu i ziemi — tak?

Sprawdź odpowiedź

Bo o przepływie prądu (i porażeniu) decyduje różnica potencjałów (napięcie) między punktami styku, a nie sam wysoki potencjał. Ptak dotyka jednego przewodu — obie nogi są na tym samym potencjale, napięcie między nimi ≈ 0, więc prąd nie płynie. Człowiek łączący przewód z ziemią tworzy dużą różnicę potencjałów — przez ciało popłynie prąd. Liczy się różnica, nie wartość bezwzględna potencjału.

📝 Przykład krok po kroku

Między okładkami w polu jednorodnym odległymi o $d = 2\ \text{cm}$ panuje napięcie $U = 100\ \text{V}$. Jakie jest natężenie pola?

$$E = \frac{U}{d} = \frac{100}{0{,}02} = 5000\ \frac{\text{V}}{\text{m}}.$$

📐 Definicje tej lekcji

• Napięcie $U = W/q$ (wolt); w polu jednorodnym $U = Ed$.
• Potencjał — energia potencjalna jednostkowego ładunku w danym punkcie pola.
• Zmiana energii ładunku — $W = qU$; w polu jednorodnym $W = qEd$, w centralnym $W = kQq\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Napięcie = praca na jednostkę ładunku ($U = W/q$, wolt).
• W polu jednorodnym $U = Ed$, a praca sił pola $W = qU = qEd$.
• W polu centralnym $E_p = kQq/r$, więc $W = kQq\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$.
• O porażeniu decyduje różnica potencjałów, nie sam potencjał.

🎒 Zadania

Zadanie 7.5.1. [R] Przeniesienie ładunku $q = 0{,}5\ \text{C}$ między dwoma punktami wymagało pracy $10\ \text{J}$. Jakie jest napięcie między nimi?

Pokaż rozwiązanie

$U = \dfrac{W}{q} = \dfrac{10}{0{,}5} = 20\ \text{V}$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Posługiwać się napięciem ($U = W/q$) i związkiem $U = Ed$.
• [ ] Obliczyć zmianę energii ładunku w polu jednorodnym i centralnym.
• [ ] Wyjaśnić rolę różnicy potencjałów (przykład ptaka na przewodzie).

---