Prawa Kirchhoffa i opór zastępczy

🎯 Po co Ci to?

Realne obwody mają rozgałęzienia i wiele elementów. Do ich analizy służą prawa Kirchhoffa — które, co piękne, są po prostu zasadami zachowania ładunku i energii w przebraniu.

✅ Czego się nauczysz

• interpretować I prawo Kirchhoffa jako zasadę zachowania ładunku; opisywać dodawanie napięć;
• [rozszerzenie] stosować II prawo Kirchhoffa i obliczać opór zastępczy połączeń szeregowych i równoległych.

📘 Wyjaśnienie

📐 I PRAWO KIRCHHOFFA (prawo węzłów): suma natężeń prądów wpływających do węzła równa się sumie wypływających. To bezpośrednia konsekwencja zasady zachowania ładunku (§7.1) — ładunek nie gromadzi się w węźle.

💭 Pomyśl: Do węzła wpływa prąd $3\ \text{A}$, a z węzła wypływają dwie gałęzie: jedna $1\ \text{A}$. Ile płynie drugą?

Sprawdź odpowiedź

$2\ \text{A}$ — bo „ile wpłynęło, tyle musi wypłynąć" (zachowanie ładunku): $3 = 1 + 2$. Ładunek nie znika ani się nie gromadzi w węźle. To I prawo Kirchhoffa.

Łącząc ogniwa szeregowo, ich napięcia się dodają (bo dodaje się energia nadawana ładunkowi — zachowanie energii). Dwie baterie 1,5 V połączone szeregowo dają 3 V.

[rozszerzenie] II prawo Kirchhoffa i opór zastępczy

📐 II PRAWO KIRCHHOFFA (prawo oczek): w zamkniętym oczku obwodu suma sił elektromotorycznych równa się sumie spadków napięć na oporach: $\sum\varepsilon = \sum IR$. To zasada zachowania energii dla obwodu.

Znaki, czyli dodawanie i odejmowanie napięć. Obchodząc oczko w wybranym kierunku, SEM źródła liczymy ze znakiem plus, gdy przechodzimy przez nie od bieguna „−" do „+" (źródło oddaje energię ładunkom, popychając je zgodnie z obiegiem), a ze znakiem minus, gdy przeciwnie — takie źródło jest wtedy odbiornikiem energii (tak właśnie ładuje się akumulator). Spadki $IR$ na opornikach zawsze zabierają energię, więc stoją po drugiej stronie równania.

📝 Przykład — dwa źródła w jednym oczku. W obwodzie połączono szeregowo dwa ogniwa o $\varepsilon_1 = 12\ \text{V}$ i $\varepsilon_2 = 4\ \text{V}$ oraz opornik $R = 4\ \Omega$ (opory wewnętrzne pomijamy).

(a) Ogniwa zwrócone zgodnie: napięcia się dodają, $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 16\ \text{V} = IR$, więc $I = \dfrac{16}{4} = 4\ \text{A}$.

(b) Ogniwa zwrócone przeciwnie: napięcia się odejmują, $\varepsilon_1 - \varepsilon_2 = 8\ \text{V} = IR$, więc $I = \dfrac{8}{4} = 2\ \text{A}$. Prąd płynie w kierunku narzuconym przez silniejsze ogniwo, a słabsze pracuje jako odbiornik — jest ładowane. Energia z pierwszego ogniwa idzie więc częściowo na ciepło w oporniku, częściowo do drugiego ogniwa.

Opór zastępczy zastępuje układ oporników jednym równoważnym:

• szeregowo: $R_z = R_1 + R_2 + \dots$ (opory się dodają — prąd „pokonuje" je kolejno);
• równolegle: $\dfrac{1}{R_z} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots$ (opór zastępczy jest mniejszy od najmniejszego — prąd ma więcej dróg).

💭 Pomyśl: Dwa jednakowe oporniki $R$ łączysz raz szeregowo, raz równolegle. W którym przypadku opór zastępczy jest większy?

Sprawdź odpowiedź

Szeregowo — $R_z = 2R$ (opory się dodają). Równolegle $R_z = R/2$ (mniejszy od pojedynczego, bo prąd ma dwie drogi). Intuicja: szeregowo wydłużasz „tor przeszkód", równolegle dokładasz dodatkowy „pas ruchu". Stąd równoległe łączenie odbiorników w domu — każdy ma pełne napięcie i niezależną drogę.

📐 Definicje tej lekcji

• I prawo Kirchhoffa — suma prądów do węzła = suma z węzła (zachowanie ładunku).
• Dodawanie napięć — ogniwa szeregowo: napięcia się sumują (zachowanie energii).
• [R] II prawo Kirchhoffa $\sum\varepsilon = \sum IR$ (SEM dodajemy lub odejmujemy zależnie od zwrotu źródła); opór zastępczy: szereg $R_z=\sum R_i$, równolegle $1/R_z = \sum 1/R_i$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• I prawo Kirchhoffa = zachowanie ładunku w węźle.
• Ogniwa szeregowo: napięcia się dodają.
• [R] II prawo = zachowanie energii w oczku; źródła zwrócone zgodnie — napięcia się dodają, przeciwnie — odejmują (słabsze źródło jest wtedy ładowane).
• [R] Szereg: opory się dodają, równolegle: opór maleje.

🎒 Zadania

Zadanie 8.5.1. Trzy ogniwa po $1{,}5\ \text{V}$ połączono szeregowo. Jakie napięcie dają razem?

Pokaż rozwiązanie

$3 \cdot 1{,}5 = 4{,}5\ \text{V}$ (napięcia się dodają).

Zadanie 8.5.2. [R] Oblicz opór zastępczy dwóch oporników $6\ \Omega$ i $3\ \Omega$ połączonych (a) szeregowo, (b) równolegle.

Pokaż rozwiązanie

(a) $R_z = 6 + 3 = 9\ \Omega$. (b) $\dfrac{1}{R_z} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, więc $R_z = 2\ \Omega$ (mniej niż każdy z osobna).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• [ ] Stosować I prawo Kirchhoffa i dodawanie napięć ogniw.
• [ ] [R] Stosować II prawo Kirchhoffa, dodawać i odejmować napięcia źródeł w oczku.
• [ ] [R] Liczyć opór zastępczy (szereg/równolegle).

---