Rozpad promieniotwórczy i czas połowiczny
🎯 Po co Ci to?
Nie da się przewidzieć, kiedy rozpadnie się pojedyncze jądro — ale dla wielkiej ich liczby rządzi ścisłe prawo. Na nim opiera się datowanie skał i znalezisk archeologicznych.
✅ Czego się nauczysz
- opisywać rozpad izotopu i posługiwać się czasem połowicznego rozpadu;
- [rozszerzenie] opisywać przypadkowy charakter rozpadu i metodę datowania izotopem ¹⁴C.
📘 Wyjaśnienie
📐 DEFINICJA — czas połowicznego rozpadu $T_{1/2}$: czas, po którym rozpada się połowa jąder danego izotopu. Po czasie $T_{1/2}$ zostaje $\tfrac12$, po $2T_{1/2}$ — $\tfrac14$, po $3T_{1/2}$ — $\tfrac18$ itd.
💭 Pomyśl: Mamy próbkę izotopu o czasie połowicznym 10 dni. Ile zostanie po 30 dniach?
Sprawdź odpowiedź
30 dni to trzy czasy połowiczne. Po każdym zostaje połowa: $\tfrac12 \to \tfrac14 \to \tfrac18$. Zostanie $\tfrac18$ (12,5%) początkowej liczby jąder. Uwaga: to nie znaczy, że po 20 dniach zostaje zero — każde $T_{1/2}$ zmniejsza o połowę tego, co aktualnie jest, a nie o stałą porcję. Stąd rozpad jest wykładniczy, nigdy nie „kończy się" gwałtownie.
Rozpad pojedynczego jądra jest przypadkowy — nie wiadomo, które i kiedy. Ale dla ogromnej liczby jąder prawdopodobieństwo daje precyzyjne prawo rozpadu. Wykorzystuje to datowanie izotopem $^{14}\text{C}$: żywe organizmy mają stały udział promieniotwórczego $^{14}\text{C}$; po śmierci przestaje się on uzupełniać i maleje z czasem połowicznym ~5700 lat. Mierząc, ile $^{14}\text{C}$ zostało, wyznaczamy wiek znaleziska.
Liczba jąder po dowolnym czasie. Wzorzec „po każdym $T_{1/2}$ zostaje połowa" da się zapisać jednym wzorem, który działa także dla czasów niebędących całkowitą wielokrotnością $T_{1/2}$:
$$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}},$$
gdzie $N_0$ to początkowa liczba jąder, a $N(t)$ — liczba jąder pozostałych po czasie $t$. Wykładnik $t/T_{1/2}$ mówi po prostu, ile czasów połowicznych upłynęło; nie musi być liczbą całkowitą.
📝 Przykład [R]. Technet-99m, używany w scyntygrafii, ma $T_{1/2} = 6\ \text{h}$. W preparacie było $N_0 = 8\cdot10^{10}$ jąder. Ile zostanie po $15$ godzinach? Upłynęło $t/T_{1/2} = 15/6 = 2{,}5$ czasu połowicznego, więc $N = 8\cdot10^{10} \cdot \left(\tfrac12\right)^{2{,}5} = 8\cdot10^{10} \cdot \dfrac{1}{4\sqrt{2}}$, a że $\dfrac{1}{4\sqrt{2}} \approx 0{,}177$, zostaje $N \approx 1{,}4\cdot10^{10}$ jąder (ok. 18% początkowej liczby).
📐 Definicje tej lekcji
- Czas połowicznego rozpadu $T_{1/2}$ — czas, po którym rozpada się połowa jąder.
- [R] Datowanie $^{14}\text{C}$ — wyznaczanie wieku z ubytku promieniotwórczego węgla.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Po każdym $T_{1/2}$ zostaje połowa jąder (rozpad wykładniczy).
- Rozpad pojedynczego jądra jest przypadkowy; statystycznie — ścisłe prawo.
- [R] Liczba jąder po dowolnym czasie: $N(t) = N_0\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$.
- [R] Datowanie ¹⁴C: wiek z ubytku promieniotwórczego węgla ($T_{1/2}\approx5700$ lat).
🎒 Zadania
Zadanie 12.8.1. Czas połowiczny izotopu to 8 dni. Jaka część próbki pozostanie po 24 dniach?
Pokaż rozwiązanie
$24/8 = 3$ okresy → $\left(\tfrac12\right)^3 = \tfrac18$ próbki (12,5%).
Zadanie 12.8.2. [R] W znalezisku zostało $\tfrac14$ początkowej zawartości $^{14}\text{C}$ ($T_{1/2}\approx5700$ lat). Ile ma lat?
Pokaż rozwiązanie
$\tfrac14 = \left(\tfrac12\right)^2$ → minęły dwa czasy połowiczne: $2\cdot5700 \approx 11,400$ lat.
Zadanie 12.8.3. [R] Jod-131 ma czas połowicznego rozpadu $T_{1/2} = 8$ dni. Jaka część próbki pozostanie po $12$ dniach?
Pokaż rozwiązanie
To nie jest całkowita wielokrotność $T_{1/2}$, więc korzystamy ze wzoru ogólnego. Wykładnik: $t/T_{1/2} = 12/8 = 1{,}5$, zatem $\dfrac{N}{N_0} = \left(\tfrac12\right)^{1{,}5} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0{,}354$ — pozostanie ok. 35% próbki. (Sprawdzenie rzędu wielkości: po 8 dniach byłoby 50%, po 16 dniach 25% — wynik dla 12 dni musi leżeć między tymi wartościami i leży.)
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- [ ] Posługiwać się czasem połowicznego rozpadu.
- [ ] [R] Obliczyć liczbę jąder pozostałych po dowolnym czasie; opisać przypadkowość rozpadu i datowanie ¹⁴C.